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弾頭重量 1,000 [kg] において、最大射程 1,300 [km] をカバーするであろうことを考慮して、推進剤の比推力(Isp)を 270 [s] に設定する。
弾道ミサイルは、推進剤が燃焼完了(burnout)後、慣性飛翔に移行にするが、そのときの飛翔経路上下角(水平面に対するミサイルの速度ベクトルの角)を "Loft Angle" と呼ぶ。この角は火砲における「射角」に相当する。ゴルフクラブのロフトも打ち上げ角度に関係する用語である。ミサイルで、「打ち上げ角」というと、発射時の角度(通常垂直)と取られるので、ここでは、「ロフト角」と呼ぶことにする。
真空弾道では、射角 45°のとき、射程が最大になるが、弾道ミサイルの場合、垂直状態で打ち上げて、大気を通過中に加速しつつ、徐々に経路上下角を 45 °付近に倒していく。そして、このときの、倒し方(回転角速度:「ロフト角速度」)と「ロフト角」が最大射程に影響する。
「ロフト角」及び「ロフト角速度」(Loft Angle Rate)を解析ソフト(GUI_Missile_Flyout)を使って、求めると、それぞれ、43.8144 [deg] 及び 1.2121 [deg/s] になる。
発射場位置を舞水端里(ムスダンリ、40°51' 21" N 、129°39' 57" E) と想定して、発射方向(Launch Azimuth)を 90°(東向き)とする。
以上の設定のもとに、「標準的な弾道」として、先ず、① 経過時間に対する「高度」と「地表面距離」及び「速度」と「加速度」、次に、② 地表面距離に対する「高度」及び「速度」と「加速度」を示す。ただし、地表面は、本体、円弧として湾曲しているが、ここでは、水平に描く。
図1 経過時間対地表面距離・高度 |
最大射程は、経過時間 643 [s](10分43秒) において、1,395 [km]、最大弾道高は、358 [s](5分58) において、314 [km] である。なお、燃焼完了(burnout 110 [s])時の高度は 75 [km] である。
図2 経過時間対加速度・速度 |
(注)加速度の単位(G)は、重力の加速度(9.8 m/s2) |
加速度(図の青色グラフ)は、推進剤の燃焼にともなって機体が軽くなるので、図に示したように指数関数的に増大する。燃焼終了時(burn time = 110 [s])における加速度は、8.69 [G] である。計算上の加速度は、推力(平均燃焼率117.8 [kg/s] x Isp 270 [s] = 31,806 [kgf])を機体質量(3,287 [kg])除した値 9.68 [G] になる。再突入後の終末期(terminal phase)における加速度(実際は空気効力による「減速度」)の向きは速度ベクトルに対して逆向きである。
速度(図の赤色グラフ)は、燃焼終了時において、3.262 [km/s] である。有効排気速度 x ln(1/質量比)で計算される計算上の速度は、有効廃棄速度 = Isp x g =270 x 9.8 = 2.646 [km/s]、質量比 = 3,287 / 16,250 = 0.2023 (逆数は 4.9437)、ln(4.9437) = 1.5981 であるから、4.229 [km/s] である。
推力が零になり、慣性飛翔に移行後、重力によって上昇速度が減じられて高度が最高点に達した時点(経過時間 357 [s])で速度は極小値 2.498 [km/s] になり、その後下降に転じて速度を増す、ターミナル・フェーズの高度 30 [km] (同628 [s]) 付近から空気効力の影響が現れてきて速度が減少に転ずる。
(注)ここに示した、グラフは、ブースターが燃焼完了後も弾頭から分離しないものとして計算した結果を示ししている。ブースターを分離するか否かは、弾道係数(ballistic coefficient)に絡んで、ターミナルフェーズにおける弾道特性に影響を及ぼすので、再度取り上げる。
図3 地表面距離対高度(弾道側視図) |
主要な点の(地表面距離 [km]、高度 [km]): Burnout点(89, 75)、最高点(696, 314)、着弾点(1396, 0.9 ; 経過時間 643[s])、同(1396.406, 0 ; 643.696 [s])
図4 地表面距離対加速度・速度 |
図5 Google Earth 上にプロットした弾道 |
発射基地「舞水端里」は、2009 年 4 月 5日、北朝鮮が TaepoDong-2 の発射試験に使用した射場である。このときの経路は秋田市付近から三陸沖に抜けている。上図に示した弾道(赤色)は、東に向かって(Azimuth = 90°)に発射した例で、青森県 鰺ヶ沢(射場からの距離 880 [km])から三沢(同 1,000 [km])に抜けている。青森県上空通過時間は、発射後 7 分 16 秒 ~ 8 分 5 秒、高度は、290 [km] ~ 250 [km] である。
弾道は発射直後、北緯 41 °に沿って東に進んでいるが、東経 137°30' 付近から南に湾曲している。これは、地球の重力によって、発射点、段着点及び地球の中心を含む円弧に沿って飛翔すことによる。
ブースタ付きで再突入した場合、大きな揚力が発生し、CEP(Circular Error Probability) が、かなり大きくなる。また、弾道係数(Ballistic Coefficient; 通常記号 β で表す)が大きくなるので、大気による減速が効きにくく、空力加熱が問題になる。再突入速度を VE とすると、再突入間に吸収される熱量は β0.8 VE 2.48 に比例する。(乱流境界層の場合)
弾道係数の値については、2.1 節「弾道計算のためのパラメータの設定」で説明したようにブースタが分離された場合、弾頭質量を 1,000 [kg]、その空気抗力係数を 0.2 ~ 0.15 と想定すると、4,866 ~ 3,650 [kg/m2] これらの値に重力の加速度を乗じて(48,000 ~ 36,000 [N/m2] )になる。
以下、ターミナル・フェーズの部分を拡大してグラフ表示する。
図6 ブースタ分離の影響:地表面距離 |
最大射程:
ブースタ付:1,396.4 km , 経過時間 643.7 [s]、ブースタ分離:1,400.2 km ,649.3[s]
最大射程差:3.761 [km]、経過時間差:5.6 [s]
図7 ブースタ分離の影響:高度 |
高度が零になる経過時間:
ブースタ付:経過時間 643.696 [s]、ブースタ分離:649.317 [s]
図8 ブースタ分離の影響:加速度・速度 |
ピーク加速度(減速度):
ブースタ付:19.66 [G] (経過時間 642 [s])、ブースタ分離:24.38 [G] (636[s])
ピーク加速度(減速度)差:4.72 [G]
最終加速度(減速度):
ブースタ付:19.03 [G] (経過時間 643.7 [s])、ブースタ分離:3.87 [G] (649.3[s])
最終加速度(減速度)差:15.16 [G]
最終速度:
ブースタ付:1,895 [m/s] (経過時間 643.7 [s])、ブースタ分離:417 [m/s] (649.3[s])
最終速度差:1,478 [m/s]
図9 ブースタ分離:再突入時の加速度・速度 |
図10 弾道側視図+速度 |
速度 約 3.3 [km/s] をもって、大気圏(高度 70 [km] 付近)に再突入した弾道ミサイルは、ブースタ付の場合、弾着の 14 秒前から減速に転じ、1.5 秒 前に、最大の減速加速度を受けて弾着直前までに、速度は約 1.9 [km/s] に減少する。弾着点前 70 [km] から弾着点に達する時間は約 29 秒である
ブースタを分離した場合、弾着の 28 秒前から減速に転じ、13 秒 前に、最大の減速加速度を受けて弾着直前までに、速度は約 0.42 [km/s] に減少する。弾着点前 70 [km] から弾着点に達する時間は約 38 秒である。
なお、いずれの場合も、弾道は図10に示したように、一直線上になる。「PATRIOT PAC-3」の迎撃空域は、同図に示した射程 20 [km] 付近にある。迎撃戦闘シミュレーションの細部については、「弾道ミサイル迎撃第3章ターミナル・フェーズにおける迎撃」を参照。
<ターミナル・フェーズにおける弾道ミサイルについてのシミュレーション結果の要約>
(1)弾道は、再突入角を維持した直線になる。
(2)弾道ミサイルは大気によって減速され、その減速度にはピーク点が存在する。ピーク点を過ぎると速度は急激に減少する。
① 減速度の大きさは、再突入速度と角度に依存し、それらの値が大きいほど大きくなる。
② 減速度がピーク点に達する高度(以下、「ピーク減速度点」)は、弾道係数と再突入角度に依存し、それらの値が大きいほど、低くなる。
③ 迎撃空域をピーク減速度点以下に設定した方が、迎撃ミサイルの負担が少なくなる。
(3)迎撃ミサイルの配備位置が弾道ミサイルの予想弾着点に近いほどミス・デスタンスは小さくなる。
(4)迎撃ミサるの配備位置が、弾道ミサイルの予想弾着点から離れると、迎撃の最終段階で過度の誘導コマンド加速度が生ずるので、弾道ミサイルの運動に関する情報をリアルタイムに取り込んで、その緩和を図る必要がある。
(5)予想弾着点・迎撃点等を算定するためには弾道ミサイルに関する空力的なデータ(例えば弾道係数など)を集積する必要がる。
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