脅威に対する数理的アプローチ
北朝鮮の「火星12」に迫る
① 発射地点：順安（スンアン、前回に同じ）
② 飛翔経路：ほぼ前回に同じ（Hawaii コース）
③ 飛翔時間：約 19 分（1140 秒、6: 57' - 7: 16' ）
④ 飛翔距離：約 3, 700 [km] （太平洋上に着弾）
⑥ 最大弾道高：約 800 [km]
ここでは、大要を踏まえて、これらの諸条件を満足する弾道を計算してその結果をグラフで示すことにする。また、弾道下の住民の方々の避難訓練等役立てばと考えています。
１ 先ず、観測値から即座に通過弾道の概要を描いてみる
弾道弾の飛翔環境は、ほとんどは、眞空であるから、射距離さえわかれば、PCを使って数秒で、その弾道を計算し表示できる。その結果を次に示す。（グラフの網掛け部分は北海道通過帯です）
| 図１ 発射された弾道のEMT 図 |
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弾道弾を真空中を運動する質点として捉え、与えられた射距離を最少のエネルギーで飛翔す弾道を「最少エネルギー弾道」（Minimum Energy Trajectory; MET）と呼ぶ。「MET」は、射距離さえ与えられれば、その弾道は決まってしまう。
すなわち、弾道弾の運用者がみな「エコ」的であれば、弾道は決まってしまう。さて、上図から、実弾道にについて、次のように推定できる。
① 図で、最大弾道高は約 750 [km] と読み取れる。実弾道の最大弾道高は MET に比較して 約15 % ほど低くなるので、640 [km] 前後であろう。
② 飛翔時間は、1000 秒となっているが、実弾道では、ブースト段があり、空気の層を通過するので、2分（120秒）ほど遅くなるから、1120 秒程度と推定される。
この推定と、公表された観測値を比較すると、① の推定値は、明ら運用者が「エコ」違反して、「Lofted」モードで、発射しているとになる。
「注」：最近のTVニュースを見ていると、アナウンサー、解説者を含め、「今回発射された弾道弾は、ロフテッド弾道でなく、通常の弾道……」という言葉をよく耳にするが、これは誤りである。弾道を発射角度（Loft Angle）の概念から区分すると、「最大ペイロード弾道（眞空弾道ではEMT）を境にして、それより高い弾道はすべて「Lofted」弾道で、それより低い弾道はすべて「Depressed」弾道である。（参照：「Tactical and Strategic Missile Guidance 」, Paul Zarchan, AIAA）」
２ Lofted モード発射をシミュレートする
私の「火星12」シミュレーションモデルでは。射距離 3700 [km] に到達できる最大 Payload は、875 [kg] で、この質量の弾頭で発射すると飛翔時間は1, 103 秒で、最大弾道高は 640 [km]である。この弾道は、すなわち「最大Payload弾道」である。
875 [kg] より軽い弾頭を選択すれば、射距離に余裕があるので、その分を弾道高を Loft させて、かつ、飛翔時間を増大させるエネルギーに使える。
「Gogle Earth」上に描かれた弾道軌跡の末端の座標を読み取って、調整を行った後の座標値は次のとおりである。
着弾地の座標：35°59' 57.65" N 167°53' 02.96" E
着弾点の座標と発射地点「順安」空港（39°08' 59.49" N, 125°48' 59.49" E）の座標からを私用の「2地点間の距離計算」ソフトを使って、検算すると「3, 700. 52 km」が得られた。なお、シミュレータ（GUI_Missile Flyout）は、この距離を「3691.78」（差 8.74 [km]）と計算している。
| 図２ 火星１２ の第1回と第2回目の弾道軌跡（二つをずらして見やすくしています） |
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３ シミュレータを「Aim at Targets」モードで Run させて、適合弾道を選定する。
選定基準：条件（飛翔時間：約 1,140 秒、最大弾道高：約 800 [km]）。なお、飛翔距離は発射地点と着弾地の座標値としてとして Run する前に与えられている。
選定された弾道の候補を下表に示す。
表１ 適合弾道候補(射程：3,700 [km])
No
ペイロード
[kg]飛翔時間
[s]最大弾道高
[km]ロフト角
[deg]弾道区分
①
840
1190
796
44.55
Lofted 弾道
②
850
1185
773
43.75
③
853
1177
760
43.45
④
860
1160
748
42.71
⑤
870
1141
701
41.95
*
875
1103
640
38.59
最大Payload弾道
表において、赤色数字は。適合範囲に許容してもよいと思われる値です。
以下に、表1の № ①、③ 及び最後の「最大Payload 弾道」の弾道側視図（弾道高：射程）グラフで示します。
| 図３ 適合弾道候補の弾道側視図 |
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４ 代表的な弾道をもって「火星12」の特性を分析する
ここでは、前出の表1の ② の弾道をグラフ上に取り上げて分析を進めます。
グラフ上で網掛け部分は北海道上空通過帯です。
（１）射程を基軸（横軸）に採って分析する
《弾道高》
① 北海道（渡島半島 - 襟裳岬）上空通過時の弾道高
渡島半島（発射地北朝鮮順安空港からの位置1, 248 [km]）上空の通過高度：674 [km]
襟裳岬（発射地北朝鮮順安空港からの位置1, 506 [km]）上空の通過高度：739 [km]
| 図４ 弾道高対射程 |
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② 最大弾道高：773 [km]、射程上の位置：1862 [km]（最大射程の中点）
（注）国外のメディアでは、最大弾道高を 480 マイル（= 772 [km]）としている例が多い（例えばCNNなど）
《飛翔時間》
① 射程は、弾道（楕円軌道）を円周上に投影したものであるから、眞空状態が仮定できる範囲で、ケプラーの法則によって、飛翔時間は、発射初期のブースト段を除いて、直線的に増大する。
② 渡島半島西岸上空から、襟裳岬上空をする時間は、474 秒（7分54秒≒8分）～552秒（9分12秒）の78秒（1分18秒）である。
| 図５ 飛翔時間対射程 |
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《速度・加速度｠
① ブースト・フェーズ終了（射程205[km]）時の速度は、4.925 [km/s]、加速度（右側の目盛り）は、12.1[G]である。
② 北海道上空通過時（射程 1248 [km] - 1506 [km]）の速度は、3.831 - 3.695 [km/s] である。
「注」 ターミナル・フェースの速度・加速度については、次節で取り上げます。
| 図６ 速度・加速度対射程 |
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（2）飛翔時間を基軸（横軸）に採って分析する
《射程}｠
① 北海度（渡島半島西岸 - 襟裳岬）上空を通過する（時間474秒 - 512秒）に対する射程は、1248 - 1506 [km] である。
② 全飛翔時間（1,184 秒 = 19' 44"）は、射程は 3, 700 [km] である。
| 図７ 射程：飛翔時間 |
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《弾道高》
① 北海道上空通過時（474 - 552 秒）における弾道高は、674 - 739 [km] である。
② 飛翔時間（662 秒 = 全飛翔時間の 55 % 点）において最大弾道高 773 [km] を示す。
「注」 ブースト・フェーズがあるため、最大弾道高の時間的位置は全飛翔時間の中点より後ろにずれる。
| 図８ 弾道高対飛翔時間 |
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《速度・加速度》
「注」 本シミュレーション・モデルでは、ブースト時間（Burn Time）を185 秒に設定しています。
① 飛翔時間 184 秒における加速度及び速度はそれぞれ、12.1[G] 及び 4.925 [km/s]。なお、「Burn Time」時の弾道高は 122 [km] で既に大気圏を抜けている。
. ② 北海度（渡島半島西岸 - 襟裳岬）上空を通過（時間474秒 - 512秒）する速度は、3.831 - 3.695 [km/s]である。
| 図９ 速度・加速度対飛翔時間 |
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日本政府は、再度の「火星12」の北海道上空通過を受けて、9月19日、北海道八雲分屯地に展開している空自の「PAC3」を陸自の函館駐屯地内に配置転換する方針をかため、同日、完了した。
道内に落下するなど、万が一の事態に備えるためである。以下に説明する終末弾道の分析が、迎撃交戦にあたり、参考になろう。
ここでは、座標原点は、発射点でなく、着弾点になっています。従って、弾道弾は、右上方から、着弾点に向かって、突入してきます。
《射程・弾道高｠
① 再突入時の「突入角」を計算すると、35. 45°と計算される。突入角は終末弾道において、重要なファクタであり、大きくなるほど、弾頭が大気の層を通過する経路が短くなり、大気による減速が少なくなる。
② 弾道弾の終末弾道は、直線的に着弾点に向かうのが特徴で、そこに、終末段の迎撃戦闘のポイントがある。
③ 「PAC3」によるターミナルフェースにおける迎撃については、「弾道ミサの迎撃第3章5節」を参照してください。
| 図１０ 終末弾道：弾道高対射程 |
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| 図１１ 終末弾道：射程・弾道高対飛翔時間 |
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③ 突入角が 45°になると、青色射程のグラフと赤色の弾道高のグラフは重なり、45°を超えると赤色のグラフが、青色のグラフの上側に現れる。
《速度・加速度｠
① 弾道が最高点を過ぎて、重力その加速度によって、速度を増してきた再突入体は、大気圏内にで、次第に大きくなる空気密度（ρ）と速度（v）の二乗に比例する抗力を受けて高度 38.5 [km] にいたって最高速度 5.08 [km/s] を示して、以後減速に転じる。
② 加速度（減速度）も、ρv2 に比例するが、ρ が高度の減少伴って増加するのに対して、v 減少するため、ρv2 は、あるところで最大値を示す。この例では、弾道高 5.02 [km] で、最大加速度 44.5 [G] を示している。
③ 最大加速度点において、速度は約 60 % （5 → 3 [km/s] に減少する。（任意の弾道で成り立つ）
| 図１２ 終末弾道：速度・加速度対弾道高 |
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④ PAC3 の迎撃対象の速度は、5 [km/s] ～ 2 [km/s] に急激に減少し、迎撃点通過時刻は約 ７秒である。
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（
（２）
② Loft 角は、グラフ上に表示されていないが、約 76°である。
③ 全弾道の約 70 % が、弾道高 500 [㎞] 以上で、SM-3 の射程外である。
| 図１３ 弾道側視図 |
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《飛翔時間｠
| 図１４ 高度対飛翔時間 |
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《速度》
① 高度が大きくなると、ケプラーの法則によって、中点付近の速度が落ちるのは、分かっていたが、グラフに描いてみてびっくりしています。
② この速度の落ち込みは、着弾まで回復できず、速度は、通常の弾道よりも遅くなります。
③ 多くの識者らしい方が、落下時間が多いから速度が早くなるというのは、誤りです。ゆっくり落下するから時間がかかるのです。
| 図１５ 速度対飛翔時間 |
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《終末弾道｠
① 73°の急勾配な突入角を以て進入してきます。
② 高度 150 [㎞]から着弾点に至るまでの時間は約 35 秒である。
| 図１６ 終末弾道：再突入 |
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③ 大気の層を通過するパス（Path）が短いので、減速が不十分である。高度 30 [㎞] で、最大速度 4. 7 [㎞/s] を有していた突入体は。着弾点で、未だ、3 [㎞/s]
④ 弾道高 40 [㎞] から着弾点に至る時間は、１０秒である。この間の突入体に急ブレーキがかかる状態の中で、PAC3 は迎撃戦闘を遂行することになる。
| 図１７ 終末弾道：速度・加速度 |
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| 図１８ Google Earth 上にプロットした「火星12」(上）と「ノドン」（下）の弾道 |
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① ノドン（弾頭質量1トン）の最大射程は、1310 [㎞]、そのときの最大弾道高 293 [㎞]、飛翔時間 592 [s]
② ノドンが横田基地に向かった場合の最大弾道高は、382 [㎞]、飛翔時間は665[s]（11分 5 秒）である。
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