ここでは、レーダを設計する立場から考えます。前節で例に挙げた生産者の立場です。レーダの設計者は、レーダの運用者に対して品質の優れたレーダを提供しなければなりません。「品質の優れた」ということは、ユーザ（消費者）からみると、「第２種の過誤」を起こす確率が小さい製品、レーダの場合は、「雑音」（Noise）を誤って「信号」（Signal）として探知（検出）する確率が小さいレーダということになります。

　レーダの設計では、第２種の過誤」を起こす確率を「誤警報確率」（Probability of false alarm）と呼んでいます。前節では、「第２種の過誤」を起こす確率を β とおいて、（１－ β）を「検出力」と呼びましたから、「誤警報確率」が小さいレーダほど、目標信号を検出する力を秘めたレーダということができます。

　「第２種の過誤」を起こす確率が小さいことは、製品として必要条件ですが、十分条件ではありません。すなわち、間違いをおかさないだけでなく、レーダとしての本来の性能である目標を探知する能力が必要です。この能力は、設計上、「探知確率」として与えられます。

　レーダの設計は、「探知確率」のみならず、「誤警報確率」をも明示的に与えるられてはじめてスタートできるのです。普通は、「絶対誤りをおかすな」とか、「できる限り誤りをおかすな」といわれますが、レーダではおかしてもよい誤りの確率を積極的に示すというわけです。

　レーダは反射波を受信して、その微弱な入力信号を受信機において増幅して検出しますので、その性能は基本的には受信機（中間周波増幅機）の雑音によって決まってしまいます。極端ですが、もし雑音がなければ、どんな微弱な信号でも検出できることになります。

　受信機の雑音源は「熱雑音」（Thermal Noise）です。「熱雑音」は抵抗体内の電子の不規則な熱振動によって生ずる雑音です。熱雑音の大きさを電力 Pn（ワット [w]）で表すと次のようになります。

   　　　Ｐ_N ＝ ４ｋＴＢ [w]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（6.1）

　　　　　ここで、k = 1.3086504 ×10^-23 [J / K] （ボルツマン定数）
　　　　　　　   Ｔ： 温度 [K]、Ｂ：周波数帯域幅 [Hz]

　式（６）で示される雑音源を持った電源から外部に取り出せる最大の電力は １／４ ですから、実際に回路で発生する熱雑音は次のようになります。            

   　　　Ｐ_N ＝ ｋＴＢ [w]　　　　　　　　　　　　　　　　　       　　（6.2）

　上式のＢは増幅器を通過する信号の周波数の下限～上限の幅（Bandwidth）です。電磁波や音波など、波の性質を持った物理量を検知（感知）する検出器（Detecteor）や感知器（Sensor）は、入力可能な周波数があります。ヒトの目は、光の波長でおよそ３６０～７６０ [nm] の光を感知でき、この範囲を可視光線と呼んでいます。この範囲より短波長の光は紫外線（ＵＶ）、長い波長の光は赤外線（ＩＲ）と呼ばれ、肉眼では感知できません。音の場合はヒトの可聴範囲は、おおよそ ２０～２０,０００[Hz] です。

　生物のセンサーが入力信号の周波数に対して特定の周波数を受けつけるという固有の周波数特性を持っていることは、生命の 安全と種の存続上のストラテジーと考えられます。不必要な情報を排し、必要な情報に神経を集中させなければなりません。上式で、Ｂ を小さくすることによって、雑音を少なくするということです。

　赤外線ホーミング方式のミサイルでは、ミサイルに内蔵している液体窒素のミニボンベが作動して赤外線センサーを（７７°[K] = ー１９６° [C]）に冷却します。上式の Ｔ を下げて雑音を少なくしている例です。

　レーダ受信機の帯域幅も雑音軽減上から小さいほうがよいのですが、パルス幅（τ [s]）、パルス繰り返し（T [s]）、搬送周波数（f₀ [Hz]）から構成されている反射信号をできるかぎり忠実に復調（検波）しなければなりませんから、制約があります。ここでは、いろいろな入力パルス波形と受信機特性を想定して論理解析と実験から、レーダ受信機の帯域幅として次式が使われていますので、結果だけを示します。（電子通信学会編：「レーダ技術」昭和59.1.20, ㈱ コロナ社）

 　　　　Ｂ＝１.２／τ   [Hz]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（6.3）

　パルス幅（τ）を１.２ μｓ とすると、帯域幅（Ｂ）は、１MHz （１０^６[Hz]）になります。このとき、温度（k） を２９０°Ｋ（１７℃）とすると、雑音電力（Ｐ_N ）は次のようになります。

　　　　Ｐ_N ＝ 1.3086 × 10^-23  × 300 × 10⁶  ≒ ４× 10^-15  [w] ＝４× 10^-12 [mw]

                       ＝ －１１４ [dBm]　　　　　　　　　　　　　　　　　      （6.4）

　　　　　　[dBm] は、１[mw] を０[dBm] としたときのデシベル表示です。

（２）受信機雑音指数

　前項の例題で示したように雑音の平均電力はきわめて小さい値ですが、目標から反射されてくる信号電力は距離の４乗に逆比例して小さくなりますから、距離が増大すると直ぐに雑音電力に近い値になってしまいます。この受信機出力段における雑音電力に対する信号電力の大きさの下限は、誤警報確率（P_N）と探知確率（P_D）から一意に定まります。そこで、最小探知信号電力を Ｓmin（P_N, P_D）、最大探知距離をＲmax　とすると、次式が得られます。

　　　　Ｓmin（P_N, P_D）＝Ｐt Ｇ² λ² σ ／｛(４π)³ ・Ｒmax⁴ ｝　　　　　   （6.5）

　受信機の入力段及び出力段における信号対雑音比を、それぞれ、（Si / Ni）及び（So/ No）としたとき、受信機雑音指数（NF）が次のように定義されています。

　　　　（NF）＝(Si / Ni) ／(So / No)　　　　　　　　　　　　　　　　　　（6.6）

　ここで、近似的に　Ni = kT₀B （ただし、T₀=290°K）ですから　式（6.6）は次のように表現できます。

　　　　（NF）＝(Si /  kT₀B )／(So / No)　　　　　　　　　　　　　　　　（6.7）

　式（6.7）から受信機入力段の信号電力 Si は次のようになります。

　　　　Si ＝ kT₀B  ・（NF）・ (So / No)                                           　　　　　　　6.8）

　式（6.8）において出力段の信号対雑音比(So / No)   が最小になったとき、Si は最小探知新信号電力Ｓmin（P_N, P_D）に等しくなりますから、(So / No) の最小値を(So / No) min とすると、これらの関係式は次のようになります。

　　　　Ｓmin（P_N, P_D）＝ kT₀B  ・（NF）・ (So / No)  min　　　　　　　　 （6.9）

　式（6.5）と（6.9）から、最大探知距離の４乗 Ｒmax⁴  は次のようになります。

　　　　Ｒmax⁴ ＝Ｐt Ｇ² λ² σ ／｛(４π)³ ・kT₀B  ・（NF）・ (So / No)  min｝　（6.10）

（３）統計的雑音理論からみた受信機雑音

　ここでは、受信機に入ってくる雑音を次式の確率密度関数で表されるガウス分布とします。

　　　　ｐ_N(v) ＝{（１／sqrt（２πψ₀）}・ exp（-v² / (2ψ₀) ）　　　　（6.11）

　　　　　ここで、v は雑音電圧、その ψ₀ は分散です。

　ガウス性雑音が狭帯域の受信機を通過するとその出力電圧は次式のようになります。この式で、Ｒは出力包絡線の振幅です。

　　　　ｐ_N(R)＝（R / ψ₀ ）・ exp( -R² / (2ψ₀) ）　　　　　　　　　　（6.12）

　雑音電圧が、しきい値電圧 Vt を超える確率、すなわち誤警報確率 Ｐ_fa  は次式で示すレイリー分布（Rayleigh distribution）で表されます。

　　　　Ｐ_fa ＝ exp(  -Vt² / (2ψ₀) )　　　　　　　　　　　　　　　　　（6.13）

 下図に、雑音の受信機出力包絡線のイラストを示します。

　　図6-1　雑音の受信機出力包絡線（Skolnik: Introduction to Radar System,2nd Edition,1986,McGRAW-HILL）

　上図において、しきい値電圧 Vt を越えた雑音が探知されます。探知は不規則に起きますが、一つの雑音が探知されて次の雑音が探知されるまでの平均警報時間（false-alarm time）をＴ_fa とすると、誤警報確率 Ｐ_fa  は受信機帯域幅 Ｂ を使って次のようにも表現できます。

　　　　Ｐ_fa ＝　１／（Ｔ_fa ・Ｂ）                                                                （6.14）

 　また、式（6.13）と（6.14）から平均警報時間 Ｔ_fa は次のようにも表せます。

　　　　Ｔ_fa ＝（１／Ｂ）・exp(  Vt² / (2ψ₀) )　　　　　　　　　　　　（6.15）

　次に、雑音に振幅 A の正弦波信号が重畳されてＩＦ受信機に入力さされた場合について説明します。信号の周波数はＩＦ増幅器の中間周波数に等しく、次段の包絡線検波器の出力 ｐ_s（R）は次式で示す確率密度関数で与えられます。

　　　　ｐ_s（R）＝（R / ψ₀）・exp（-( R² + A² / (2ψ₀) ）・ I₀ (RA / ψ₀)　　（6.16）

　　　　　ここで、I₀( )  は０次の変形ベッセル関数です。

　式（5.16）を「しきい値」電圧 Vt  ～ ∞ まで、Ｒについて積分すると、探知確率Ｐd が求められます。ここでは、計算結果の細部を省略して、関数としての形だけを示します。

　　　　Ｐ_d＝ｆ（Vt / sqrt (2ψ₀) ,  A / sqrt (2ψ₀) ）                                           （6.17）

 次に、これまで説明してきた、ｐ_N(R)  と Ｐ_fa、及び ｐ_s(R)  と Ｐd  を概念的に図示します。

図6-2　雑音、雑音＋信号 の確率密度関数（概念図）

　図において、横軸は、雑音電圧 Ｒ をその標準偏差（root mean squre; rms）で正規化した値です。縦軸は。雑音電圧の確率密度です。図には、赤色で示した雑音のみの確率密度 ｐ_N(R)  とその目盛りにあわせて、青色で示した、雑音＋信号の確率密度 ｐ_s(R) が描かれています。

　赤色の垂直線は「しきい値」電圧を示しています。「しきい値」電圧の右側で、それぞれの確率密度曲線に囲まれた部分が、それぞれ、雑音電圧が探知される確率 Ｐ_fa （赤色で塗りつぶした部分）、雑音＋信号電圧が探知される確率 Ｐ_d（赤色で塗りつぶした部分+青色で網掛けした部分）を示しています。

　図から、「しきい値」電圧 Vt を増加させる（右にシフトする）すると、雑音を探知するる確率が小さくなりますが、信号を探知するする確率も小さくなってしまうことが理解できるでしょう。このことは、前に説明した、「第１種の過誤」をおかすす確率と第２種の過誤」をおかすす確率を同時に小さくすることはできないことに対応しています。

　式（5.17）を使って、しきい値」電圧 Vt をパラメータに探知確率のグラフを描けますが、レーダシステムの設計者からすれば、電圧よりも電力で表現されていたほうが便利です。また、電力で示すことによって、雑音探知確率（誤警報確率）Ｐ_fa  と信号探知確率 Ｐ_d を陽にに表現できます。

　　　　Ａ／sqrt (ψ₀)＝信号振幅／rms 雑音電圧＝sqrt (2) (rms 信号電圧)／rms 雑音電圧

　　　　　　　　　＝sqrt（２・（信号電力／座右音電力））＝sqrt（２・（Ｓ₀／Ｎ₀））（6.18）

　また、式（5.13）から

　　　　Vt² ／(2ψ₀) ＝－log_e (Ｐ_fa)                                                                          （6.19）

　ここで、式（5.19）の（Ｓ₀／Ｎ₀）はパルス１個あたりの受信機出力段の信号対雑音電力比ですので、改めて次のように表現しておきます。

　　　　 （Ｓ₀／Ｎ₀）≡  ( S  /  N )₁

　式（5.18）及び式（5.19）を式（5.17）に代入して式（5.17）を書き改めると、次のようになります。

　　　　Ｐ_d＝ｆ（ sqrt (－log_e (Ｐ_fa) ）,   sqrt ((Ｓ / Ｎ)₁) ）　　　　　　（6.20）

　式（5.20）の関係は設計に便利なように次に示すグラフに描いて置くのが一般的です。

図6-3　(Ｓ/ Ｎ) ₁－探知確率－誤警報確率 チャート
（Skolnik: Introduction to Radar System,2nd Edition,1986,McGRAW-HILL）

　上図は、(Ｓ/ Ｎ) ₁[db] に対する探知確率を 誤警報確率をパラメータにとって描いたぐらふです。誤警報確率のパラメータとしては １０^-3 、１０^-4、・・・・・、１０^-12 の１０個が設定されています。

　図は「正規確率紙」という特殊な目盛のグラフ用紙に描かれています。正規分布関数を正規確率紙に描くと直線になります。誤警報確率のグラフは直線になっていませんから正規分布ではありませ。

　レーダの運用者は、このチャートを使って、誤警報確率と探知確率を示します。例えば、「誤警報確率１０^-9 においうて、５０％ 以上の探知確率が得られること」のように要求します。

　この要求は、図6-2 において、青グラフ（信号＋雑音電力の確率密度）の平均値を赤グラフ（雑音電力の確率密度）の右側の裾のを面積が１０^-9  （１０億分の１）になる位置に設定することを意味しています。したがって、誤警報確率が小さくなるほど、青グラフは右方向に離隔していき、赤グラフとの重なりが少なくなっていきます。

　この要求から、信号対雑音比 ( S  /  N )₁ の値を読み取ると 13.2 [db] （20.9 倍）になり、この値が設計値にないります。 式（5.10）の (So / No)  min に、( S  /  N )₁ の値を代入すると最大探知距離が求められます。

　運用要求としては、通常、探知確率 ５０％ における誤警報確率を示す形式をとっていますが、これは設計の便宜のためであって、実際の探知確率は ９９％ 以上は欲しいでしょう。

　この設計値を満足する誤警報確率と探知確率の組み合わせをチャートから読み取ると次のようになりますので、探知確率が９９.７％、誤警報確率１０^-3（０１％）になるレベルに「しきい値」を設定することになります。

表6-1　信号対雑音比 ( S  /  N )₁ = 13.2 [db] を満足する誤警報確率と探知確率

　次に、誤警報確率を一定（１０^-9）に してて、探知確率を５０％～９９.９９％ に変化させた場合の信号対雑音比 ( S  /  N )₁は次のようになります。 この表から、誤警報確率 を (10億分の1）という極めて低い値に抑えて、なおかつ、９９％ 以上の探知確率を得るには、信号対雑音電力比を探知確率５０％の場合の２倍近く増大しなければならないことがわかります。。

表6-2 誤警報確率＝１０^-9 における 探知確率 と ( S  /  N )₁

　これまで、目標に当たるパルスを1個として論を進めてきましたが、実際にはたくさんのパルスが目標に当たって、その反射を受信するによって探知確率が高められるようになっています。

　パルスレーダーにおいて、1 秒間に送信するパルスの数をパルス繰返周波数（pulse repetition frequency, [Hz]）と呼びます。パルス繰返周波数 fp [Hz] は、通常、数百[Hz]～数キロ[Hz] です。その理由は、1個のパルスが送信され目標に当たって反射されて戻ってきてから、次のパルスを送信するわけですから、目標までの最大探知距離を R 、光速度を c （3 × 10⁸ [m]）とすると、これらの間に次の関係があります。

　　　　R ＝ c / (2・fp) ＝ (3 × 10⁸ ) / (2・fp)　[m]                                   （6.21）

　　　　fp ＝ c / (2・R) ＝ (3 × 10⁸ ) / (2・R)    [Hz]　　　　　　　　  （6.22）

　例えば、fp ＝５００[Hz] とすると、R ＝３００ [km]、fp ＝１[kHz] とすると、R ＝１５０ [km] になります。

　レーダーアンテナが全方位を1分間に ω 回転で走査するものとし、そのときのビーム幅を θ [度] とすると、ビーム内で一つの点目標から反射されるパルスの個数（「パルスヒット数」）ｎは次の式で与えられます。

　　　　ｎ＝（θ・fp）/ （６・ω） 　　　　　　　　　　　　　　（6.23）

　パルスヒット数を探知能力の向上のために加算していく過程を「レーダパルスの積分」（Integration of  Radar Pulses）と呼びます。ｎ個のノパルスが、すべて同じ信号対雑音比をもち、理想的に積分されるとすれば、積分された信号対雑音電力比（S / N）は1個の場合の信号対雑音電力比( S  /  N )₁のｎ倍になりますから

　　　　（S / N）＝　ｎ・（( S  /  N )₁）                                                    （6.24）

になりす。しかし、「レーダパルスの積分」の過程で「積分損失」と呼ばれるエネルギーの損失があるため式（6.24）の左辺（S / N）は、右辺ｎ・（( S  /  N )₁）より小さくなってしまいます。

　下表に理想的な場合と損失がある場合の積分効果の概略値を示します。

表6-3　パルス積分効果

　典型的なな地上設置型の監視レーダについて例示します。パルス繰返周波数 fp = ３００[Hz]、ビーム幅 θ =  １.５ [度] 、アンテナ回転数 ω = ５[rpm] です。これらの値を式（5.23）に代入すると、ヒット数 ｎは

　　　　ｎ＝（１.５×３００）／（６×５）＝１５

となりますが、積分損失により、実効的なパルスヒット数は１０ 程度になります。

6.3　おわりに

　本章は、「レーダによる目標探知」 の後編として書こうと考えていた部分を含んでいますので、「誤探知問題」として説明としては技術的になってしまいました。

　探知など、ある基準を設定して真・偽を判定する処理においては、必ず、「第１種の過誤」と「第２種の過誤」が生じます。二つの過誤のうち、「第２種の過誤」は「誤っているものを捨てない過誤」ですから、今回の「誤探知」問題が生じた主要因です。

　「第２種の過誤」を下げる基本は多方面からの「確認」です。北朝鮮のミサイル発射に備えて警戒監視にあたっていた防衛省の中央指揮所においてかかる基本ができていなかったことは残念です。

　「第２種の過誤」に帰着できる問題は、「足利事件」における菅家さんの冤罪、初期における新型インフルエンザ対応（新型インフルエンザ感染可能者は海外からの帰国者に限った）など、大きな社会問題にもなっています。

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