久保田隆成
「家計調査」は、国が行う調査の一つで、層別サンプリングに基づき選定された日本全国約 9,000 世帯を対象として、家計（収入・支出、貯蓄・負債など）を毎月調査し、結果を翌月末公表している。また、インターネットに「家計調査報告」（月報）が掲載される。
（1）母集団（平成 17 年国勢調査の結果に基づく）
以下に、家計調査の母集団を示す。この表で、調査対象母集団は「総世帯」から「施設等の世帯」と「学生の世帯」を除いた世帯である。また、「総世帯」は「二人以上の世帯」と「単身世帯」に区分される。
| 世帯総数 4,957万世帯 (100.0%) |
二人以上 の世帯 |
二人以上の世帯の母集団 3,461万世帯 (69.8%) |
家計調査 の母集団 4,811万世帯 (97.1%) |
|
| 単身世帯 | 20人未満の寮等 1,303万世帯 (26.3%) |
単身世帯の母集団 1,350万世帯 (27.2%) |
||
| 20人以上の寮等 47万世帯 ( 0.9%) |
||||
| 学生の世帯 | 調査外の母集団 146万世帯 (2.9%) |
|||
| 施設等 の世帯 |
||||
（2）地方及び都市階級の区分
地方：北海道、東北、関東、北陸、東海、近畿、中国、四国、九州、沖縄
| 都市階級 | 人口規模 |
| 大都市 | 政令指定都市 |
| 中都市 | 大都市を除く 人口 15 万以上の市 |
| 小都市 A | 人口 5 万以上 15 万未満の市 |
| 小都市 B・町村 | 人口 5 万未満の市・町村 |
（3）地方、都道府県庁所在市・都市階級別調査対象世帯数
| 都道府県 庁所在市 |
都道府県庁所在地以外の市町村 | 合計 | ||||
| 大都市 | 中都市 | 小都市 A | 小都市B・町村 | |||
| 二人以上 の世帯 |
10,997,766 | 1,087,667 | 7,945,846 | 8,655,798 | 5,918,375 | 34,605,447 |
| 単身世帯 一般単位区 |
5,701,450 | 465,913 | 2,774,780 | 2,524,978 | 1,558,156 | 13,025,277 |
| 単身世帯 寮等単位区 |
472,949 | |||||
（4）市町村の層化
家計調査において、消費性向や貯蓄性向は重要な調査項目であるが、これらの指標は、世帯の居住地域（都市階級）世帯の構成（単身か否か、年齢構成など）によって、ある傾向を示す。このように、調査母集団が調査項目に対して、部分集団を構成しているとき、この部分集団である各階層からランダムにサンプルを取り出すことを「層別サンプリング」（stratified random sampling）とよんでいる。
層別とは、母集団を調査項目に対して等質なグループに分けることであり、この等質なグループが「層」である。層別サンプリングで抽出されたサンプルは、元の母集団の階層構造を引きついているから、このサンプルから母集団の、各層ごとの統計量を推定できる。
（4-1）層数の配分：次表
| 都道府県 庁所在市 |
都道府県庁所在地以外の市町村 | 合計 | |||
| 大都市 | 中都市 | 小都市 A | 小都市B・町村 | ||
| 47 | 4 | 30 | 45 | 42 | 168 |
| (注) 大都市： 川崎市、浜松市、堺市、北九州市 | |||||
（4-2）1層当たりの調査対象世帯数：次表
「表2-4」 の世帯数をそれに対応する「表2-5」の層数で除した値
| 都道府県 庁所在市 |
都道府県庁所在地以外の市町村 | 合計 | ||||
| 大都市 | 中都市 | 小都市 A | 小都市B・町村 | |||
| 二人以上 の世帯 |
233,995 | 271,917 | 264,862 | 192,351 | 140,914 | 205,985 |
| 単身世帯 一般単位区 |
121,307 | 116,478 | 92,493 | 56,111 | 37,099 | 77,531 |
| 単身世帯 寮等単位区 |
42,995 | |||||
（4-3）層化の方法
・ 消費支出等の家計指標との相関が高い経済・社会指標を層化の基準としている。
・ 同一地方、都市階級内の各層の調査対象世帯が、可能な限り等しくなるように配慮。
中都市・小都市 A の層化：層化に用いた指標
人口集中地区の人口比率・・・人口集中地域の人口/総人口
人口増減率・・・平成17年国勢調査時人口/平成12年国勢調査時人口
産業的特色・・・第1次産業就業者数/就業者数、第2次産業就業者数/就業者数
世帯主の年齢構成・・・世帯主の年齢が65歳以上のである世帯数の割合
小都市 B・町村の層化：層化に用いた指標
地理的位置・・・海沿い、山地等
世帯主の年齢構成・・・世帯主の年齢が65歳以上のである世帯数の割合
（4-4）調査世帯数の配分：次表
| 都市階級 | 調 査 世 帯 数 | |
| 二人以上の世帯 | 単身世帯 | |
| 都道府県庁所在地 | 最低 96 | 最低 8 |
| 大都市 | 96 | 8 |
| 中都市 | 36 | 3 |
| 小都市 A | 24 | 2 |
| 小都市 B・町村 | 12 | 1 |
（4-5）抽出された調査世帯数：次表
| 都道府県 庁所在市 |
都道府県庁所在地以外の市町村 | 合計 | ||||
| 大都市 | 中都市 | 小都市 A | 小都市B・町村 | |||
| 二人以上 の世帯 |
5,052 | 384 | 1,080 | 1,056 | 504 | 8,076 |
| 単身世帯 一般単位区 |
421 | 32 | 90 | 88 | 42 | 673 |
| 単身世帯 寮等単位区 |
72 | |||||
（4-6）母集団の世帯構成比率とサンプル集団の世帯構成比率の対比
「表2-4 都市階級別世帯数」及び「表2-8 抽出された調査世帯数」をそれぞれの合計世帯数（48,060,673 及び 8,821）で除した世帯構成比率を対比した表を示す。
| 都道府県 庁所在市 |
都道府県庁所在地以外の市町村 | 合計 | ||||
| 大都市 | 中都市 | 小都市 A | 小都市B・町村 | |||
| 二人以上 の世帯 |
22.9% 57.3% |
2.3% 4.4% |
16.5% 12.2% |
18.0% 12.0% |
12.3% 5.7% |
71.9% 91.6% |
| 単身世帯 一般単位区 |
11.9% 4.8% |
1.0% 0.4% |
5.8% 1.0% |
5.2% 1.0% |
3.2% 0.5% |
27.1% 7.6% |
| 単身世帯 寮等単位区 |
1.0% 0.8% |
|||||
サンプル集団の世帯数は、平均して母集団の 10 万世帯当たり 18 世帯（8,821÷48,060,6731≃18/10万）を抽出した値になっているが、表2-9 に示したように「単身世帯(一般単位区)」に比較して「二人以上の世帯」（特に「都道府県庁所在市」）のウェートが高くなっている。
以下、数式の記号の意味は次のとおり。
母集団について
N：母集団の大きさ （「家計調査」の例では母集団世帯総数）
X1 , X2 ,・・・, XN ：構成要素（「家計調査」の例では母集団世帯）
X：平均値 σ2：分散
母集団内の第 j 層について
R：層数 j = 1, 2,・・・, R
Nj：j 層の大きさ（「家計調査」の例では j 層の世帯数）
Xjk ：第 j 層の第 k 番目の構成要素（「家計調査」の例では世帯） k=1,2,・・・, Nj
Xj ：平均値 σj2：分散
母集団の平均値と分散：
X = (1/N )・SUM[j=1～R]( Nj Xj )・・・・・・・・・・・・・・・・・（9）
上式に示すように、母集団の平均値は、各層の平均値のウェイトつき平均値になっている。
σ2 = SUM[j=1～R]{(Nj/N)σj2} + SUM[j=1～R]{(Nj/N)(Xj-X)2} ・・・・（10）
上式で、右辺第1項（各層内の分散のウェイトつき和）は「（層）内分散」とよばれる。また、第2項（各層の平均値と母平均値との差の平方のウェイトつき平均）は「外分散」とよばれる。そして、母集団の分散（「全分散」とよばれる）は内分散と外分散の和の形になっている。
サンプルの平均値と分散：
層別の場合も、サンプルの平均値 x の平均値（期待値 E(x)）は、母集団の平均値に一致する。すなわち次式が成り立つ。(注)サンプルの取り出し方は SUM[j=1～R](NjCnj) だけある。
E(x) = X ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（11）
分散 V(x) は次式のようになる。
V(x) = σx2 = SUM[j=1～R][(Nj/N)2{(Nj-nj)/(Nj-1))}(σj2/nj)] ・・・・（12）
（12）式の平方根 σx を層別サンプリングにおける平均値のサンプリング誤差とよぶ。ここで、 Nj >> nj ならば、平均値のサンプリング誤差 σx は次式で近似できる。
σx ≒ sqrt{SUM[j=1～R][(Nj/N)2・(σj2/nj)]} ・・・・・・・・・・・（13）
各層へのサンプル数の割当法
表2-8「抽出され調査世帯数」によれば、抽出された世帯数の総数 n は、8,821 であるが、この総数 n をおさえて、各層内の抽出数をどのように配分したら、（12）式、または（13）式に示すサンプリング誤差を最小にすることができるできるであろうか。
この解として、「ネイマンの割当法」（J. .Neyman）があるが、ここでは、Nj >> nj かつ Nj >>1 として、結果だけを示すと、ネイマンの最適割当法のサンプリング誤差 V(optim) は次のようになる。
（12）、（13）式において、
nj ≒ n・σjNj / { SUM[j=1～R](σjNj)}・・・・・・・・・・・・・・・（14）
とおいて、
V(optim) ≒ sqrt{ (1/n)・（SUM[j=1～R](Nj/N)・σj ）2 }・・・・・・（15）
この結果から、分散の大きい層には多くのサンプル数を割り当てるのがよい。ただし、前もって、σj の値はわからない場合が多いから実用的ではない。
実用的な割当法として、「比例割当法」がある。各層の大きさに比例して、サンプル数を割り当てる方法である。すなわち、
nj = n・（Nj / N）・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（16）
である。前と同様結果だけを示すと、比例割当法のサンプリング誤差 V(prop) は次のようになる。
V(prop) ≒ sqrt{ (1/n)・SUM[j=1～R](Nj/N)・σj 2 }・・・・・・・・（17）
上式の右辺は、（10）式の右辺の第１項「(層)内分散」の 1 / n であるから、V(prop)は(層)内分散の 1 / n になっていることがわかる。（10）式の関係（全分散=内分散＋外分散）を使うと次のように表現できる。
V(prop) ≒ sqrt{ (1/n)・（σ2 - SUM[j=1～R](Nj/N)(Xj-X)2 ）} ・・（18）
以上のことから、比例割当法では、層別を適当にして、層間分散（外分散）を大きくして、層内分散を小さくすることによってサンプリング誤差を著しく小さくすることができる。
層別の効果
ネイマンの最適割当 V(optim)、比例割当 V(prop)及び単純ランダム・サンプリングV (simp) をNj、N ともに十分大きいものとして比較する。比較にあたっては、それぞれを二乗した値で比較するするものとすると、その値は次のようになる。
V2(optim) = (1/n)・{SUM[j=1～R](Nj/N)・σj }2 ・・・・・・・・・・ （19）
V2(prop) = (1/n)・SUM[j=1～R](Nj/N)・σj 2 ・・・・・・・・・・・（20）
V2(simp) = σ2/n ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ （21）
（20）式は（18）式の形に表現できたから、（21）式を代入して次のように展開できる。
V2(prop) = V2(simp)-(1/n)SUM[j=1～R](Nj/N)(Xj-X)2 ・・・・・・（22）
ここで、
V2(prop)-V2(optim)=(1/(nN))SUM[j=1～R]Nj(σj-σ)2 ≥ 0 ・・・・・（23）
で、V2(optim)≤V2(prop) であるから、三つのサンプリング誤差の大小関係は次のようになる。
V2(optim) ≤ V2(prop) ≤ V2(simp) ・・・・・・・・・・・・・・・・・（24）
要約：
ネイマンの配分方式は、層内分散 σj の値が既知であることを前提に、nj を Njσj に比例してとれば最適になる。福島県の土壌あるいは玄米のセシウム汚染調査のように、各サンプルにつて１項目の調査が重視されている場合、予備調査によって層内分散を推定できれば、そのサンプリング誤差は比例配分方式の 70%～90% になることは多くの実例で経験されているという。
比例配分方式は、予備知識は少なくてすむ。ネイマンの配分方式の場合、各サンプルについて調査項目がたくさんある場合（例えば、年齢、性別、収入、支出、貯蓄など）どの項目についての層内分散をとって配分すべきか判断を要す。比例配分方式は、この配慮がいらないのも強みである。
続く
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