久保田隆成
この章では、TV の「視聴率調査」や選挙のとき NHK などが 行っている「出口調査」などを取り上げて、その裏で、統計学がどのように使われているか、また、その精度と信頼性はどのくらいあるのだろうかを考えてみる。
毎週、主要新聞紙上に発表される前週1週間の「TV 視聴率」の例（朝日新聞 2011.12.15 朝刊）を次に示す。
| 図 1-1 TV 視聴率 |
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上に示した「TV ランキング」は、視聴率調査会社「(株)ビデオリサーチ」から提供を受けたデータ（「調査日報」）を新聞社が編集して紙上に記載したものである。注記にあるように、関東地区のものである。無作為に選定した家庭に視聴率調査用の装置が設置されて視聴した時刻とチャンネル（番組）がオンラインでビデオリサーチに送られるようになっている。したがって、視聴率は「世帯視聴率」である。
関東地区の TV 保有世帯数は、ビデオリサーチによれば、およそ 1,800 万世帯である。これに対して、視聴率調査対象世帯数は、600 世帯である。したがって、3万世帯当たり1世帯をサンプリングして調査していることになる。私が住んでいる鎌ヶ谷市の世帯数は 43,123 （H23.10.31現在）であるから、調査対象世帯は市で 1 世帯となる。なお、人口 108,727 人の地方の中規模の市である。感覚的には、サンプリング数が少ない感じを受けるが上のランキング表の値は信頼できるのであろうか。
結論から先に説明すると、次のようになる。例として、ランキング１位の「家政婦のミタ」（視聴率 = 27.6 %）をとりあげる。
この視聴率を p とおくと、p = 0.276 である。 3 万世帯当たり 1 世帯の割合で調査した結果であるから、当然この値より低い場合も高い場合もある。すなわち、この調査値は、調査値を挟んで、上下に誤差（誤差の幅）を持っている。
誤差の幅を述べるとき大事なことは、その「信頼度」である。3.11 の大震災は、千年に１度の大震災といわれているが、今後、「500 年間に１度は起こる」、「1,000 年間に１度は起こる」、「2,000 年間に１度は起こる」と順次、予想期間を大きくしていけば、その期間内に地震が起こるという信頼度は上がっていく。すなわち「外れ」の確率が低くなっていく。
そこで、誤差を含んでいる数値を述べる前に、その前提として、信頼度を決めておく必要がある。信頼度は、通常、95 % にとる場合が多いが、90 % とゆるくしたり、 99 % ときつくする場合もある。
1,800 万世帯から 600 世帯を無作為に抽出する組み合わせは、膨大な値（18,000,000Ｃ600）になるが、ある組み合わせから得られた視聴率（例えば「家政婦のミタ」の視聴率）が、27.6 % から大きく外れる確率は低く、27.6 % 付近に集まる確率が高くなるだろうと予想される。
このように誤差が分布する様子は、数学的に「正規分布」と呼ばれる。正規分布をもって、誤差のバラツキの範囲と信頼度の関係を示すと下図のようになる。
| 図 1-2 正規分布におけるバラツキの範囲と信頼度（確率）の関係 |
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図 1-2 に示すグラフは、標準正規分布（平均値 μ = 0, 標準偏差 σ = 1） を示す。横軸は、平均値からの偏差を、縦軸（高さ）は、その点における確率密度を表す。
曲線と横軸に囲まれた全面積は、確率 1 （100 %） になる。図では、この曲線を左右 1.96σ の範囲で区切っている。このとき、左右の区切り線と曲線で囲まれた面積は、0.95 (95%) になり、生起確率（=信頼度）を表している。
この状態から、両区切り線を 0点 を中心に左右に伸縮させると、囲まれた面積（=確率=信頼度）は 95% から増減する。具体的に、代表的な区切り幅（= 信頼区間：上の例では -1.96σ ～ +1.96σ） と信±3 σ頼度（確率）の関係を次の表に示す。なお、信頼区間値の σ に付けられた係数（1.9599 など）を信頼係数という。
| 表 1-1 信頼度と信頼区間の関係 | |||||
| 信頼度(確率) | → | 信頼区間 | 信頼区間 | → | 信頼度(確率) |
| 90 % | ±1.6448 σ | ±1 σ | 68.27 % | ||
| 95 % | ±1.9599 σ | ±2 σ | 95.45 % | ||
| 99 % | ±2.5758 σ | ±3 σ | 99.73 % | ||
「100% - 信頼度(%) = 1 - 信頼度(小数点表示)」の値を「危険率」（level of signjficance） という。上の表には、危険率が 1 % 付近までの信頼区区間区間しか示していないが、さらに、信頼区間を±4 σ、±5 σ と広げていくと、その信頼度と危険率（（）内の数値）は、0.999 936 658 (0.000 063 342) 、0.999 999 426 (0.000 000 574) になる。
±5 σ における、信頼度は、小数点以下に、「9」が６桁並ぶので、「six nine」 の信頼度という。このときの危険率は、百万分の １ 以下になる。
日本及びその周辺の地震回数（マグニチュード M 3.0 以上）の年間平均回数は、気象庁の資料によば、 5,110 回である。M9.0 以上の地震が 1,000 間に平均 1 回起きるとするると、その生起確率は 1/(5,110 × 1,000) ≅ 1/ 500万 になる。この値は、正規分布表上、±5.2 σ の信頼区間に相当する。
原発など、具体的なシステムを設計・制作する立場からは、斑目春樹原子力安全委員長が、浜岡原発訴訟の中部電力側の証人として証言しているように、「どっかでは割り切る」ことになろうが、そのとき、「これで安全です」というのではなく「これで、この程度の危険があります」と説明すべきであろう。
標準偏差 σ は、正規分布のバラツキの指標（尺度）を示すものである。次に、平均値が 0 で、標準偏差 σ が １ 及び 2 の正規分布関数をグラフに表示する。
| 図 1-3 二つの正規分布関数（平均値 0 , 標準偏差σ=1及び 2） |
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上図に示すように、標準偏差が大きくなると曲線の山は低くなり、裾野は広がるが、横軸と曲線に囲まれる面積は等しく 1 である。青い曲線（σ = 1）が ±1 σ （=±1） の区間で囲まれる面積と、赤い曲線（σ = 2）が ±1 σ （=±2） の区間で囲まれる面積はともに 0.6827 （68.27 %） である。
図の曲線を数式で表すと、平均値を μ 、標準偏差を σ として、次のようになる。ただし、sqrt( ) は根号 √ である。
f (x) = (1/(sqrt(2π)・σ))・exp(-(x-μ)2/(2σ2)) ・・・・・・・・・・（1.1）
上式において、μ = 0、σ = 1 とすると次の標準正規分布の式が得られる。
f (x) = (1/sqrt(2π))・exp(-(x)2/2) ・・・・・・・・・・・・・・・・・・（1.2）
(1.1)式において、
(x-μ)/σ = t ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1.3)
とおくと、(1.1) 式は、次式のように変換され、
f (t) = (1/sqrt(2π))・exp(-(t)2/2) ・・・・・・・・・・・・・・・・・・（1.2）'
標準正規分布の形になる。
入試で志望校の偏差値が話題になるが、これは、平均値を 50 点、標準偏差を 10 点にとった正規分布をモデルにした得点である。このモデルで、偏差値（得点）70 として、上位何％ 以内に入るかを計算してみる。
(1.3)式に、 x = 70、 μ = 50、 σ = 10 を代入すると t = 2 となる。そこで、標準正規分布で、「区間 +2」 の確率を調べてみる。表1-1 で、±2 σ（標準正規分布では σ =1）区間の確率は 95.45 % であるから、「+ 側」の確率は 95.45 %/ 2 = 47.725%である。一方、「- 側」の確率は、50% であるから、 70 点未満の確率は、50 + 47.25 = 97.725% となる。したがって、70点以上の確率は、100% - 97.725 = 2.275% 、上位約 2.3 ％（百人中、２～３人）になる。
テレビの視聴率調査では、調査の対象となりうると想定されている全数、例えば、関東地区の場合約 1,800 万世帯を調査対象の母集団（population）という。母集団は、統計学的には次のように定義されている。
母集団は、一定の属性をもっ固体の確定した集団である。
母集団の各元（要素）には、その属性を表示する識別として数を対応させうる。
母集団は、確率分布をもつ。
母集団から取り出した要素をサンプル（標本、sample）、サンプルを取り出すことをサンプリングという。関東地区のTV視聴率調査では、母集団の要素数（= 世帯数）N = 18,000,000、から n = 600 のサンプル数を取り出している。そしして、定義 2 によって、母集団の各要素に識別番号、X1, X2, ・・・・・・XN を対応づけられる。
なお、n ≥ 30 かつ （N - n）≥ 70 のとき、あるいは Xi の値が等間隔ならば、n ≥ 10 かつ（N - n）≥ 15 のとき正規分布曲線とみなし得ることが分かっている。以下、サンプリング誤差を計算するために必要な基本的な公式を挙げる。
母集団の平均値： Xave = (1 / N)・SUM[i=1,N](Xi)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（1.4）
母集団の分散： σ 2 = (1 / N)・SUM[i=1,N](Xi - Xave) 2 ・・・・・・・・・・・・（1.5）
ただし、SUM[i=1,N](Xi) = X1 + X2 + ・・・・・・+ XN ；加算記号
とし、この母集団から n 個のサンプル（x1, x2, ・・・・・, xn）を取り出したときのサンプルの平均値 xave 及びサンプル平均値の分散 V(xave)=σxave2 は次のとおりである。
サンプルの平均値： xave = (1 / n)・SUM[i=1,N](xi)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（1.6）
サンプル平均値の分散： V(xave)=σxave2 = ((N - n) / (N - 1))・（σ2 / n) ・・・・・・（1.7）
（1.7）式を導くには、 N 個の母集団要素から n 個のサンプル数を取り出す組み合わせが NCn 組あることに注意する。
N >> n の場合、（1.7）式の ((N - n) / (N - 1)) ≒ 1 であるから、サンプル平均値の標準偏差 は次のように表現できる。
サンプル平均値の標準偏差： σxave = σ / √n ；（N >> n） ・・・・・・・・・・・・・・・・・（1.8）
90% は： Xave - 1.64・σ / √n ～ Xave + 1.64・σ / √n ・・・・・・・・・・・・・・・・・・（1.9）
95% は： Xave - 1.96・σ / √n ～ Xave + 1.96・σ / √n ・・・・・・・・・・・・・・・・・・（1.10）
99% は： Xave - 2.58・σ / √n ～ Xave + 2.58・σ / √n ・・・・・・・・・・・・・・・・・・（1.11）
の範囲内にある。
ここで、（1.7）式左辺の平方根
σxave = sqrt{ ((N - n) / (N - 1))・（σ2 / n)｝ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（1.12）
は「平均値のサンプリング誤差」と呼ばれている。
いま、N 戸の世帯数のうち「家政婦のミタ」の番組を見た世帯については、Xi の値に 1 を与え、それ以外の番組を見た世帯には 0 を与えることにすると、全世帯のうち「家政婦のミタ」の番組を見た世帯数 A は次のようになる。
X1 + X2 + ・・・・・・+ XN = A ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（1.13）
上式の平均値 Xave は次のようになる。
Xave = （X1 + X2 + ・・・・・・+ XN）/ N = A / N ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（1.14）
ここで、平均値「A / N」は視聴率であるから、この値を P とすると、P は次式で与えられる。
Xave = A / N = P ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（1.15）
ここで、（1.5）式で示した分散の式は次のように展開すると
σ 2 = (1 / N)・SUM[i=1,N](Xi - Xave) 2 = (1/N)SUM[i=1,N]（Xi2） - Xave2・・・・・（1.16）
となるが、Xi は 1 か 0 であるから Xi2 = Xi となるので、
SUM[i=1,N]（Xi2） = SUM[i=1,N]（Xi） = A
である。したがって、（1.16）式は次のようになる。
σ 2 = (1 / N)・A - P2 = P - P2 = P(1 - P) ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（1.17）
（1.17）式を使うと、NCn個のサンプルでの比率 p のうち、
90% は： P - 1.64・sqrt(P(1-P)/n) ～ P + 1.64・sqrt(P(1-P)/n) ・・・・・・・・（1.18）
95% は： P - 1.96・sqrt(P(1-P)/n) ～ P + 1.96・sqrt(P(1-P)/n) ・・・・・・・・（1.19）
99% は： P - 2.58・sqrt(P(1-P)/n) ～ P + 2.58・sqrt(P(1-P)/n) ・・・・・・・・（1.20）
の範囲内にある。
（1.18）～（1.20）式を図1-1「TV視聴率」の代表的な番組に当てはめて、視聴率のサンプリング誤差を計算した結果を次の表に示す。
| 信頼度 | 家政婦のミタ | サザエさん | 踊る！さんま御殿 !! |
|---|---|---|---|
| 90 % | 27.6 % ± 3.0 % | 20.5 % ± 2.7 % | 15.0 % ± 2.4 % |
| 95 % | 27.6 % ± 3.6 % | 20.5 % ± 3.2 % | 15.0 % ± 2.9 % |
| 99 % | 27.6 % ± 4.7 % | 20.5 % ± 4.3 % | 15.0 % ± 3.8 % |
一般的に、信頼度 95%（危険率 5%）で、誤差の範囲を推定する場合が多い。この場合、 5% （100回のうち5回）は、この範囲に入らないことが起きうるが、番組に広告を出す側にすれば、 ５％の危険率を捨てて、広告を出すか否かの決心をするであろう。
サンプリング誤差について注意すべきことは、次の２点である
1. サンプル数を増加せても、それに比例して誤差は減少しない。例えば、サンプル世帯数を 600 から 2 倍の 1,200 世帯に増やしても、それによる誤差は元の値の1/√2 （約 70%）である。「家政婦のミタ」の信頼度 95% の誤差では、± 3.6 % → ± 2.5 % になるだけでる。
2. 信頼度を上げると、誤差の範囲（信頼区間）が大きくなる。例えば、「家政婦のミタ」の信頼度 90% の誤差は、± 3.0 % であるが、信頼度 99% の誤差は、± 4.7 % に増大している。このことは、明日の天気を問われたとき、「晴れ」というよりも「晴れ、場合によっては曇り、または雨」といった方が、当たる確率が上がることを考えれば理解できよう。
3. サンプリング誤差は、サンプルにおける比率（この例では視聴率）が 50% のとき最大にになる。上の表で、行を右から左に見ていくと誤差が増加して行くことが見とれるが、視聴率は 50% 以下であるので、その先は見えていない。
サンプリング数と信頼度が一定の場合、サンプリング誤差は sqrt(P(1-P)) に比例する。P(1-P) は、P に関する２次式で、P = 0.5 のとき最大値 0.25 をとるから、その平方根（sqrt）は 0.5 になる。この様子を数に示す。
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選挙時の出口調査に基づく速報は、候補者間に優劣の差が多い場合は、開票率 0% 段階で「当選確実」が出るが、優劣が拮抗している場合、開票率が最終段階を迎えるまで「当確」が出ないのは、上の図に示すように、P = 0.5 付近におけるサンプリング誤差が大きく、両者の推定投票率の誤差が重なり、出口調査の結果だけから、「当確」の判定ができないからである。
表1-2 において、視聴率 P = 50 % の番組があったとするれば、そのサンプリング誤差（赤字の部分）は、信頼度 90% 、95% 及び 99% に対応して次のようになる。
50 % ± 3.3 % 50 % ± 4.0 % 50 % ± 5.3 %
小選挙区制においては、上の状況は、「二者択一」の問題になり、そのときの「あいまいさ」すなわち「エントロピー」は、「課外教室 №6 情報とは何か」-「3.4.5 二者択一の情報源」のころで説明したように、P = 50 % のところで最大になる。
以下に続く
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