図4-1-1トップページへ 弾道ミサイル迎撃 ミサイルの弾道 弾道ミサイルの発射 ご意見ください
ミド・コース（mid-course）における迎撃は、戦略迎撃（Strategic Intercept）とも呼ばれ、弾道ミサイル迎撃の主要な手段です。わが国における弾道ミサイル防衛（ＢＭＤ）では、エイジス艦に搭載されたスタンダードミサイル（ＳＭ-３）が、その任に当たっています。
現在実戦配されているスタンダードミサイルはＳＭ－３ⅠＡで、迎撃対象とする弾道ミサイル はノドン・クラスの準中距離ミサイルです。参考までに、両者の主要な性能・諸元を次の表に示します。なお、ノドン・クラスの弾道の特性は、第２章の図2-15-1～2-15-3 に示した一例です。
| ミサイル | 全長[m] | 直径[m] | 発射重量[kg] | 弾頭[kg] | 射程[km] | 飛翔高度[km] | 飛翔速度[m/s] |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ノドン・クラス | 16.0 | 1.32 | 16,250 | 1,000 (HEなど) | 1,300 | 平均：２20 | 平均：2,750 |
| 最大：270 | 最大：3,100 | ||||||
| ＳＭ－３ⅠＡ | 6.58 | 0.34(２・３段部） | 約 1,500 | 23（kinetic） | (1,200) | 250 程度 | 3,000 |
表4-1-1
上表で、ノドン・クラスの飛翔高度、飛翔速度の値は、高度１００ [km] 以上のミド・コースの値です。ＳＭ－３ⅠＡ の弾頭は、運動エネルギー弾頭（kinetic warhead ; KW）と呼ばれる方式の弾頭で、目標（target）に直撃命中（hit and kill）して、その運動エネルギーによって目標を破壊します。航空機を迎撃する通常の対空ミサイルの弾頭は、弾頭内に充填されている炸薬のエネルギーによって目標を破壊します。この場合、炸薬の破裂によって、飛散した弾殻が目標に命中すればよいので、必ずしも弾頭そのものが直撃命中する必要はありません。
大気圏外にあるミド・コースでは、目標（target）及迎撃するミサイルともにブースト・フェーズで得たエネルギーを保持している弾頭は、ニュートンの運動法則に従って、地心引力定数によってそれぞれの軌道が支配されます（ブースと段階で得たエネルギーは保存され、位置のエネルギーと運動のエネルギーとして相互に変換されることによって飛翔経路が決定される）。
地心引力定数の支配に逆らって、目標（target）及び迎撃ミサイルの弾頭が、それぞれ、自ら針路を変更するために、エネルギーが必要です。このエネルギーは、例えば、ＳＭ－３ⅠＡ の弾頭では、弾頭胴体の周囲に９０度間隔で配置されている４基のサイド・スラスターが担っています。
ＳＭ－３ⅠＡ の弾頭に内蔵されている４基のサイド・スラスターは「ＳＤＡＣＳ」（Solid Divert and Attitude Control System；固体（推進剤による）針路変更と姿勢制御装置）と呼ばれ、目標に会合する約 ９０[s] 前から作動します。この時点に至るまでに次のようなブーストフェーズをたどってきます。
① 発射 → １段目ブースタ燃焼完了→ ２段目デュアル・スラスト・ロケットモータに点火 → （艦側の誘導で迎撃予想点に向かって飛翔継続)
② 高度３０ [km] 以上に上昇 → 第３段目に点火
③ ３段目デュアル・パルス・ロケットモータ：第１回目点火 → （内蔵の姿勢制御装置 → 最適予想迎撃点に向かって飛翔） → 高度約 ９０ [km] →ノーズ・コーン分離
④ 目標の飛翔経路に応じて、惰性飛飛翔し、再度、パルスモータに点火して、速度を ３ [km/s] 以上に加速。予想会合時刻の約 ３０ [ｓ] 前に、第３段ロケットモータ分離。これまでの間、データリンクをとおして艦からの目標情報を更新する。
（注） 「デュアル・スラスト・ロケットモータ」：ブースター推力とサステーナ推力の２重推力を発生するロケットモータ。「パルス・ロケットモータ」：任意の時間間隔をあけて推力を発生できるロケット・モータ。なお、サステーナはブースタによる加速後に所定の速度を維持して飛翔するために必要な推力を発生するロケットモーターです。
略語「ＳＤＡＣＳ」に出てきた針路変更（divert）は、ミサイル（弾頭）の進行方向（弾軸）に対して、直角に働く速度ベクトル（ΔＶ）として定義されます(単位は [m/s[)。これによって、ミサイル（弾頭）の針路は変わりますが、ミサイルの飛翔速度が変わるわけでありません。サイド・スラスターのエネルギーは、針路変更に消費されるだけです。
ミド・コースにおける迎撃のキーポイントは、できる限り正確な予想 迎撃点を定めることです。極端な言い方ですが、もし，予想迎撃点が正しければ、迎撃用ミサイルを目標に命中させるために、何の誘導必要がありません。そこで、ここでは、ダイバート（divert）量（ΔＶ）を算定するための計算法についても説明することにします。
２００８年２月２１日、米海軍イージス艦 ”Ｌａｋｅ Ｅｒｉｅ” から発射された ＳＭ－３ が、太平洋上空高度２４７ [km] で、速度 １０,２００ [m/s] で地球を周回中の米国のスパイ衛星１９３号を命中 ・破壊することに成功しました。 このことは、予想命中点の計算がしっかりとできていれば、確実に命中・破壊できいることを如実に示しています。
ここでは、戦略ミサイル（strategic missile）は、戦術ミサイル（tacstical missile）と同様に比例航法（proportinal navigation law）に従って誘導されるものとします。比例航法では、ミサイルに要求される加速度（ｎc；加速度コマンド[m/s2）は次式で表されます。
ｎc = （ -Vm・HE・N' / tf ）・（ 1 - ( t / tf ) ）N'-2 （4.1）
Vm： ミサイル速度 [m/s]
HE： ミサイルへッデング（進路角）誤差 [rad]
N'： 有効航法定数（effective navigation ratio）
tf： 飛翔時間（flight time）
t： 現在時間
戦略ミサイルでは、上式のへッデング誤差（ＨＥ）に代えて、しばしば、予測誤差（prediction error：ＰＥ）が使われます。ＨＥとＰＥの関係式は次のようになります。
ＰＥ ＝ －Ｖｍ・ＨＥ・ｔｆ （4.2）
予測誤差（ＰＥ） を用いると、式（4.1）は次のようにも表現されます。
ｎc = （ PE・N' / tf2 ）・（ 1 - ( t / tf ) ）N'-2 （4.3）
ダイバート量（ΔＶ）は、式（4.1）または式（4.3）の加速度コマンド（ｎc）を飛翔時間（tf）にわたって積分したものですから、次式のように表されます。（ integrate( 0, tf) は積分記号∫、( 0, tf) は積分範囲）
ΔＶ ＝ integrate( 0, tf ) |ｎc| dt （4.4）
式（44）に式（4.3）の右辺を代入して積分して得られた式を整理すると、必要なダイバート量（ΔＶ）として、次式が得られます。
ΔＶ ＝ （ Ｎ’/ (Ｎ’－１) ）・（ ＰＥ / tｆ ） （4.5）
上式において、有効比例定数（Ｎ’）の値として通常 ３～５ が用いられますが、Ｎ’値の増加による、ΔＶ の減少はわずかです。一方、ΔＶは飛翔時間（ｔｆ）（誘導している時間）に逆比例しますから、ｔｆ が増加すると ΔＶ は急激に減少します。
一例として、ＰＥ＝１５,０００ [m] の場合をグラフ化して示します。この値は、ミサイル速度（Ｖｍ）＝３,０００ [m/s]、へッデング誤差（ＨＥ）＝５０ [mrad]、飛翔時間（ｔｆ）＝１００ [s] にとった場合に対応します。グラフは、同一の内容を、通常のグラフと対数グラフで表示します。
図4-1-1
図4-1-2
上図から、Ｎ’＝３ として、飛翔時間（誘導時間）（ｔｆ）が １０ 秒しかない場合の所要ダイバート（ΔＶ）は ２,２５０ [m/s] ですが、３０ 秒ある場合は ７５０ [m/s] 、１００秒の場合は ２２５ [m/s] に減少します。なお、予測誤差（ＰＥ）が２倍になれば所要ダイバート（ΔＶ）も、それに比例して２倍になります。
＜ポイント＞
◇ 誘導開始までに、できる限り予測誤差（ＰＥ）を少なくする。
◇ 予測誤差（ＰＥ）が大きくても飛翔時間（誘導時間）が多ければ所用ダイバート（ΔＶ）を減少させうる。
これから説明する交戦プログラムは、初期設定 → 予想迎撃点の算定（サブルーチン「predict」） → 会合三角形形成（迎撃点・弾道ミサイル・迎撃ミサイルで構成される三角形 ; collision triangle）のための迎撃ミサイルの速度成分の算定（サブルーチン「lambert」） → 会合点に向かっての誘導という流れで進んでいきます。
（１）迎撃点の算定（サブルーチン関数：predict）
弾道ミサイルの現在位置（ｘｔ、ｙｔ）、現在速度（ｖｘｔ、ｖｙｔ）及び飛翔時間（ｔｆ）を初期条件として、ニュートンの運動法則から弾道ミサイルの予想位置（ｘｔｆ、ｙｔｆ）を算定します。なお、飛翔時間（ｔｆ）は、迎撃ミサイルの誘導開始から迎撃点に至るまでの時間に等しくなります
（２）ランバートの問題（Ｌａｍｂｅｒｔ’ｓ Ｐｒｏｂｌｅｍ）
重力空間に次に示すようなニュートンの万有引力の法則に従う物体があって
d2x / dt2 = -GM・x / ( x2 + y2 )3/2 （4.6）
d2y / dt2 = -GM・x / ( x2 + y2 )3/2 （4.7）
その初期位置が次のように与えられているものとします。
x(0) = x0 （ 4.8）
y(0) = y0 （4.9）
また、所望の時間（ｔｆ）の後に、次に示す位置に移動するものとします。
x(0) = xf （4.10）
y(0) = yf （4.11）
このとき、初期位置（x0,y0）から目的位置（xf,yf）に至るには初期速度 dx(0)/dt 、dy(0)/dt にいかなる値を与えればよいか、という問題をランバートの問題（Ｌａｍｂｅｒｔ’ｓ Ｐｒｏｂｌｅｍ）と呼んでいます。この問題の解法は、宇宙飛行や弾道ミサイルでも重要な問題です。
弾道ミサイルを所望の目標に到達させるために必要な速度（ｖ）及び飛翔時間については、第１章で説明しましたが、再度掲示しますと次のとおりです。
V = sqrt( GM・(1 - cosφ) / r・cosγ・[(r/R)・cosγ - cos(φ+γ)] ) ＜再掲＞ (1.2)
ｔｆ = Ａ × ｛ Ｂ／Ｃ ＋（Ｄ／Ｅ）ｔａｎ-1（Ｆ／Ｇ）｝ ＜再掲＞ (1.10)
ここで、Ａ ～ Ｇ は次のとおりです。
A = r0 / (Vcosγ)
B = （1 - cosφ)tanγ + (1 - λ）sinφ
C = (2-λ）[(1 - cosφ) / (λcos2γ) + cos(γ + φ) / cosγ]
D = 2cosγ
E = λ[(2/λ) - 1]1.5
F = sqrt((2/λ) - 1)
G = cosγcot(φ/ 2) - sinγ
r0 は発射点における楕円軌道の動径長（= 地球の半径R ）、
V は所要速度（式(1.2)参照）、
γ は経路角、
φ は射程角（式(1.1)参照）、
λ = R × V2 / GM （式(1.5)参照） です。
式が複雑なので、要約すると次のようになします。ｒ0, ｒf は初期及び目標位置のベクトル表示、Φは射程角、γ は経路角です。
Φ = ｆ（ｒ0, ｒf） （4.12）
Ｖ = ｆ（ｒ0, ｒf, Φ, γ） （4.13）
ｔｆ = ｆ（Ｖ, Φ, γ） （4.14）
さて、速度（Ｖ）を求める式（4.13）と飛翔時間（ｔｆ）を求める式（4.14）にはともに経路角（γ）が含まれている上に、飛翔時間（ｔｆ）は速度（Ｖ）の関数でもありますから、両者を同時に満足させるような解は、容易には得られません。、結局、経路角（γ）の値をしらみつぶしに少しずつ変えてみて、そのたびに解を吟味することになってしまします。
＜計算アルゴリズムの高速化＞
速度（Ｖ）の計算公式（1.2）に、速度が第２宇宙速度（=11.19 [km/s], 地表上での値）になる条件
λ = ２ = V2・ ｒ0 / GM （4.15）
を適用して、経路角（γ）について解くと、次の２つの解が得られます。
γmin = atan（ { sinΦ - sqrt( ( 2ｒ0 / ｒf )・(1-cosΦ） } / (1 - cosΦ)） （4.16）
γmax = atan（ { sinΦ + sqrt( ( 2ｒ0 / ｒf )・(1-cosΦ） } / (1 - cosΦ)） （4.17）
上式で、例えば、射程角（Φ）の値として、ピョンヤン～東京間（約１,３００ [km]）に対応する角度（約１２°） をとると、
γmin = -３°、γmax = ８７°
となります。
問題は、出発点（ｒ0）と到達点（ｒf）（迎撃点）及び所望時間（飛翔時間(ｔf)）が与えられとき、その解として速度（V）を見え出すことです。 その速度（V)は、まだわかっていない経路角（γ）が決まれば式（1.2）から求められます。
経路角（γ）によって、飛翔時間（ｔf） が変りますから、ｔf の計算式（4.14） を満足するような経路角（γ）を見え出さなくてはなりません。式（4.14） （ ｔｆ = ｆ（Ｖ, Φ, γ） ） のように γ を与えて ｔf を求める式になっていますが、逆に tf を与えて γ を求める式はありありません。
経路角（γ）と飛翔時間（ｔf）の関係をグラフ化した図は、既に第１章で示しましたが、説明上再掲します。
図4-2
問題は、例えば、飛翔時間として 451 [s] が与えられた場合、このグラフ上で、それに対応する経路角（γ）を見え出すことです。よく使われる解法にニュートン法がありますが、そのためには、関数が容易に微分可能であることが条件になります。前に示したように、このグラフの式は複雑で、容易に微分できそうもありません。そこで、ここでは、ニュートン法から派生した「割線法」（secant method）を用いることにします。
「割線法」のアルゴリズムを漸化式で示すと、２つの経路角についての初期近似値 γ1、γ2 と、それに対応する飛翔時間 ｔf1、ｔf2 から、次式に従って、新しい経路角 γ3 を求めることになります。ここで、tｆ0 は所望の飛翔時間です。
γ3 = γ2 + （ γ2 - γ1 ）・（ ｔf0 - ｔf2 ） / （ ｔf2 - ｔf1 ） （4.18）
繰り返し計算の過程で、経路角（γ）の値は、式（4.16）、（4.17）で示した限界（γmin、γmax）を超えることはありません。経路角(γ）の探索は、飛翔時間（ｔf） が 所望の飛翔時間（ｔf0）に定められた値以下に収斂したとき終了します。なお、ここで使うプログラムでは、経路角（γ）の初期として、γmin と γmax の平均値を使っています。
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（１） 弾道方程式及び誘導則
ここでは、大気圏外における迎撃について、誘導飛翔間に迎撃ミサル加わるダイバート量と加速度を観察することにします。このため、弾道ミサイル、それを迎撃するミサｲﾙともにブースとフェーズを省略し、また大気を無視し、その運動は、地心引力空間でニュートンの法則に従うものとします。
弾道ミサイルの運動方程式は第１章で既に説明していますが、再掲しますと次のようになります。
ｄ2ｘt / ｄｔ2 ＝ －ｇｍ・ｘt / （ ｘt2 + ｙt2 ）1.5 （4.19）
ｄ2yt / ｄｔ2 ＝ －ｇｍ・yt / （ ｘt2 + ｙt2 ）1.5 （4.20）
こきで、ｇｍ （＝３.９８６００４e14 [m3/s2]） は地心引力定数
迎撃誘導間のターゲットとミサイルの相対位置は（ｘ、ｙ）座標で次のように表されます。
Ｘtn ＝ Ｘt ー Ｘm （4.21）
Ｙtn ＝ Ｙt ー Ｙm （4.22）
同様に、速度については次のように表されます。
Ｖxtm ＝ dＸt / dt ー dＸm /dt （4.23）
Ｖytm ＝ dＹt / dt ー dＹm /dt （4.24）
ターゲットとミサイル間の距離は、式（4.21）、（4.22）から次のようになります。ただし、ｓｑｒｔ() は根号（√）です。
Ｒtm ＝ ｓｑｒｔ（ Ｘtn2 ＋ Ｙtn2 ） （4.25）
式（4.21）～（4.25）を使って、ターゲットとミサイル間の相対接近速度は次のようになります。ただし、負（ー）符号は相互に接近することを表しています。
Ｖc ＝ －（Ｘtn・Ｖxtm ＋ Ｙtn・Ｖytm） / Ｒtm （4.26）
次に、迎撃ミサイルからターゲットを見通した線をＬＯＳ（Ｌｉｎｅ ｏｆ Ｓｉｇｈｔ）と呼ぶことにして、ＬＯＳ と Ｘ軸 のなす角を λ とすると λ は次式で与えられます。
λ＝ｔａｎ-1（Ｙtn / Ｘtn） （4.27）
λ の時間についての微分値、この値は、ＬＯＳの旋回率になりますが 、ｔａｎ-1、に関する微分公式を適用して、次のようになります。
dλ/ dt ＝（ Ｘtn・Ｖytm － Ｙtn・Ｖxtm ） / Ｒtm2 （4.28）
迎撃ミサイルに働く誘導コマンド（ｎc） （Proportional navigation guidance command）の大きさは、接近速度（Ｖc）、ＬＯＳの旋回率（dλ/ dt）及び有効航法定数（Ｎ'）の積ですから、次式で与えられます。
ｎc ＝ Ｎ'・Ｖc・（dλ/ dt） （4.29）
誘導コマンドは、ＬＯＳに対して直角に作用することを考慮して、（ｘ,ｙ）成分に分解すると次のようになります。
ａxm ＝ ーｎc ・ｓｉｎ（λ） （4.30）
ａym ＝ ｎc ・ｃｏｓ（λ） （4.31）
迎撃ミサイルにはターゲットと同様に、地心引力が働きますから、誘導コマンドと合わせて、その運動方程式は次のようになります。
ｄ2ｘm / ｄｔ2 ＝ －ｇｍ・ｘm / （ ｘt2 + ｙt2 ）1.5 + ａmx （4.32）
ｄ2ym / ｄｔ2 ＝ －ｇｍ・ym / （ ｘt2 + ｙt2 ）1.5 + amy 4.33）
ターゲットの運動方程式（4.19）,（4.20）に対して、誘導コマンドが追加された形になっています。
（２）迎撃目標（弾道ミサイル）の想定
迎撃目標としては、第１章で取り上げたノドンクラスの弾道ミサイル（最大射程１,３００[km]）のうち、経路角３５度を想定します。その弾道軌道の特を下表に示します。
| 射 程 | 射程角 | 飛翔時間 | 最大弾道高 | 平均速度（最大速度） |
| １,３００ [km] | １１.７０ [deg] | 482 [s] | ２３６ [km] | 3,408 (3,450) [m/s] |
表において、射程角とは、射程を地球表面の円弧とみなしたときの、その円弧に対応する中心角です。
次に、弾道軌道をグラフ化して示します。図において、弾道ミサイルはＹ軸上の地表面から発射されて時計回り（Clockwise）に飛翔するものとします。
図4-3
（３） シミュレーション計画
上に示した弾道ミサイル（目標）の全飛翔時間が約８分（４８０秒）から、その弾道軌道の前半で迎撃することとし、誘導飛翔時間（Time of Flight: Tf） を１２０秒（２分）及び１８０秒（３分）の２ケースについてシミュレーションを行います。その概要を下表に示します。
| ケース | Time of Flight | 予想迎撃点 | 迎撃ミサイル位置（偏角） | 迎撃点予測誤差 | ||
| Ｄｏｗｎｒａｎｇｅ | 弾道高 | 偏 角 | ||||
| Ⅰ | １２０秒（２分） | 329 [km] | 177 [km] | 87.04 [deg] | ８４°（＝ ９０°- ６°） | ０ |
| １０ [km] | ||||||
| Ⅱ | １８０秒（３分） | 488 [km] | 221 [km] | 85.61 [deg] | ８１°（＝ ９０°- ９°） | ０ |
| １０ [km] | ||||||
（４） 使用したプログラム
使用したプログラムについては下記をクリック ください。C言語によるプログラムですが拡張子は「.txt」にしてあります。
使用したプログラム： mid_course_engagement_simulation.txt
（５） シミュレーション結果
以下に、ケースⅠ及びⅡについて、シミュレーション結果を、迎撃時の弾道側視図、予測誤差がない場合とある場合のダイバート及び迎撃ミサイルの所要飛翔速度をグラフ化して示します。
＜ケースⅠ＞
図4-4-1
図4-4-2
図4-4-3
図4-4-4
＜ケースⅡ＞
図4-5-1
図4-5-2
図4-5-3
図4-54
＜要約＞
① 迎撃弾道側視図
目標の弾道軌道、ミサイルの弾道軌道は、 Downrange を含めて衝突三角形（Ｃｏｌｌｉｓｉｎ ｔｒｉａｎｇｌｅ）を作りますが、両弾道ともに地球の中心に向かう重力の加速度によって湾曲します。
② ダイバート
予測誤差がゼロの場合は、誘導コマンド（横加速度）及びダイーバーとともにゼロのなるはずですが、重力の影響によってゼロにはなりません。ただし、その量は極めて、小さい値です。なお、誘導コマンドは、衝突（命中）するまでにゼロになります。
予測誤差を、１０ [km]（＝１０,０００ [m]） とした場合のダイバートを、公式（4.5） から計算すると次のようになり、ほぼ、シミュレーション結果と一致しています。
ケースⅠ（tf = 120 [s]） の場合：
ΔＶ ＝ （ Ｎ’/ (Ｎ’－１) ）・（ ＰＥ / tｆ ） = 10000 ×3 / (2×120) = 125 [m/s]
ケースⅠ（tf = 120 [s]） の場合：
ΔＶ ＝ （ Ｎ’/ (Ｎ’－１) ）・（ ＰＥ / tｆ ） = 10000 ×3 / (2×180) = 83 [m/s]
③ 迎撃ミサイル所要速度
迎撃ミサイル所要速度は、プログラムの上では Lambert 関数で計算され、X-軸とY-軸成分（Vxm. Vym）に分けて戻されます。この計算のために、ミサイルの経路角（γ）を「割線法」で求めることについては、前に説明しましたが、その結果をケースⅠ、Ⅱについて示します。ただし、データは、予測誤差（１０[km]）がある場合のものです。
| ケース | 経路角（γ） | ミサイル速度（X-軸成分） | ミサイル速度（X-軸成分） | ミサイル速度 |
| Ⅰ | ４１．３ [deg] | -２６７９．９ [m/s] | ２３５０．５ [m/s] | ３５６４．６ [m/s] |
| Ⅱ | ４３．２ [deg] | -２６１８．０ [m/s] | ２４６２．５ [m/s] | ３５９４．２ [m/s] |
グラフに示したように、速度はミサイルの高度が増すにつれて減少していますが、ミサイルの運動エネルギーがポテンシャル（位置）エルぎーに変換されるためです。
この迎撃ミサイルが、命中せずに飛翔を続けると、第１章の 「図１－３ 弾道ミサイルの所要速度 」に示したように、１３００ [km] 以上の射程になります。ただし、弾頭のサイドスラスターの能力から迎撃機ミサイルとしての射程は制約されます。
この節では、迎撃対象弾道ミサイルとして、第２章で取り上げた「テポドン２」クラスの２段ロケットモータを有するミサイル想定します。
このクラスのブースト・フェーズの期間はは高々１分以内ですから、発射の情報を得て、例えば、洋上からＳＭ－３をもって、ブースト・フェーズ中に迎撃することは難しいでしょう。
ここでのブースト・フェーズ交戦シミュレーションの狙いは、仮に、ブースト・フェーズのように加速度中の目標（target）を迎撃する場合、ミサイルの誘導上いかなる問題があるかを検討することにあります。
（１）ミサイル誘導則及びターゲットのブースト運動方程式
ミサイルの誘導に比例航法を用いているものとします。この場合、ブースト中の目標は追尾中のミサイルに対して次式で示す誘導コマンド加速度（ｎc）を発生させます。
ｎc = （N'/(N'-2)）・ｎt・[1 - （1 - t/tf ）N'-2] （4.34）
N'：有効比例定数、ｎt：ミサイルから見た目標の見かけ上の加速度、t；時間、tf；time of flight
誘導コマンド加速に基づいて発生するダイバート（lateral divert） ΔＶ はその定義から次のようになります。
ΔＶ ＝ integrate( 0, tf ) |ｎc| dt （4.35）
（ integrate( 0, tf) は積分記号∫、( 0, tf) は積分範囲）
上式に式（）を代入して積分すると ΔＶ として次式が得られます。
ΔＶ = （ N' / ( N' - 1) ）・ｎt・ｔf （4.36）
次に、ブースト間の弾道ミサイルの運動方程式を考えてみます。ミサイルの重量を Ｗ、推力 を Ｔ とすると、軸方向の加速度 αt は、ｇ を重力の加速度として、次式で与えられます。
αt ＝ ｇ・Ｔ / W （4.37）
地球の中心を原点とする直角座標（ｘ, y）をとって、弾道ミサイルの運動方程式を表すと次のようになります。 次式で、GM は地心引力定数、Ｖｔ はミサイルの速度です。
d2Xt/dt2 = -GM・Ｘt / （ Ｘt2 + Yt2 ）1.5 + αt・（dXt/dt） / Vt （4.38）
d2Yt/dt2 = -GM・Yt / （ Ｘt2 + Yt2 ）1.5 + αt・（dYt/dt） / Vt （4.38）
Vt = sqrt（ (dXt/dt)2 + (dYt/dt)2 ） （439）
迎撃ミサイルからみた目標の加速度は、ＬＯＳ（Line Of Sight） に対する目標加速度の垂直成分（αplos）ですから,、次式で与えられます。λはＬＯＳのＸ－軸に対する角度です。
αplos = （ (d2Yt/dt2)・cosλ ＋ (d2Xt/dt2)・sinλ） （4.40）
なお、αplos は、式（4.34） に出てきた、ｎt に等しくなります。
（２）迎撃目標（弾道ミサイル）の想定
迎撃目標としては、第2で取り上げた「テポドン-２」クラスの弾道ミサイル（２段ロケットモータ、最大射程５,65[km]）のうち、経路角61度を想定します。その弾道軌道の特を下表に示します。
| 射 程 | 射程角 | 飛翔時間 | 最大弾道高 | 平均速度（最大速度） |
| 5,３65 [km] | 48.28 [deg] | 1,300 [s] (21' 40") | 984 [km] | 4,850 (6,030) [m/s] |
表において、射程角とは、射程を地球表面の円弧とみなしたときの、その円弧に対応する中心角です。
次に、弾道軌道をグラフ化して示します。図において、弾道ミサイルはＹ軸上の地表面から発射されて時計回り（Clockwise）に飛翔するものとします。
図4-5５
（３）ブースト・フェーズにおける弾道軌道の特性
迎撃対象としている区間は、上図の最初のブースト・フェーズ（５５秒間）です。全射程にわたる特性については、第２章で示していますが、再度、拡大して示します。
図4-5６－１
図4-5６－２
図4-5６－３
図4-5６－４
（４） シミュレーション計画
上に示した弾道ミサイル（目標）のブースト時間が５５秒ですから、誘導飛翔時間（Time of Flight: Tf） を５０秒としてシミュレーションを行います。j実際に迎撃ミサイルが誘導を開始するのは、５０秒のうちの後半２５秒とし、最大旋回加速度を ２０ [G] とします。その概要を下表に示します。
| Time of Flight | 予想迎撃点 | 迎撃ミサイル位置（偏角） | 誘導開始秒時 | |||
| Dｏｗｎｒａｎｇｅ | 弾道高 | 偏 角 | 偏 角 | Dｏｗｎｒａｎｇｅ | ||
| 50 [s] | 106 [km] | 70 [km] | 89.04 [deg] | ８6° | 445 [km] | 25 [s] |
（５） 使用したプログラム
使用したプログラムについては下記をクリック ください。C言語によるプログラムですが拡張子は「.txt」にしてあります。
使用したプログラム： boost_phase_engagement_simulation.txt
（６） シミュレーション結果
シミュレーション結果を、迎撃時の弾道側視、ミサイルから見た目標の見かけ上の加速度及びダイバート（比例航法、増強比例航法）をグラフ化して示します。
図4-57
図4-58
図4-59-1
図4-59-2
＜要約＞
① 弾道側視図
ブーストフェーズは、時間的に５０ [秒]、高度的に７０[km] と限られているので、ＳＭ－３のようにノーズコーン分離高度が ９０[km] では、基本的に対応できません。もちろん、ブースト・フェーズを迎撃対象にする必要はなく、できるだけ発射初期を狙って迎撃するなら、ブースト・フェーズが終了して、高度が約 ２５０ [km] に達するまでの、およそ２分（１２０秒） 以内に対応する方がベターでしょう。
発射から弾着までの全弾道の平均高度約 ６７０ [km] 、最大弾道高 ９８４ [km] 、また平均飛翔速度 ４,８５０ [m/s] 最大飛翔速度 ６,０３０ [m/s] の点からも、発射段階から目標を補足追尾して、早期に迎撃すことが戦力的に望ましいでしょう。
② ダイバート（ΔＶ）
前述したダイバート（ΔＶ）の計算式（4.35）に, Ｎ’＝３ として、ｔf = 25 [s]、ｎt として図4-58 におけるαplos の２４～５０[s] 間の平均値 4.21[G] を代入してみます。
ΔＶ = ３ * ４.２１ * ９.８ * ２５ / ２ ＝ １,５４７ [m/s]
シミュレーション結果は、１６１６ [m/s] ですから、ほぼ一致しているとみなせます。
ブースト・フェーズにおけるダイバートの値をミド・コースにおけるダイバート値を比較すると、前者の値がおよそ１桁程度大きくなっています。この軽減策として、比例航法に代えて増強比例航法（Augmented Proportional Navigation）を用いた場合のシミュレーション結果を 図459-2 に示します。シミュレーションの結果では、ダイバート値は、４０４ [m/s] となり、１／４に減少しています。
③ コマンド加速度（ｎc）
ミド・コース交戦シミュレーションにおけるコマンド加速度（迎撃ミサイルに生ずる誘導コマンド加速度）は、予測誤差がないとき、１０のマイナス３乗オーダーですから無視できる程度です。予測誤差（１０ [km]）がある場合でも、１～２ [G] から直線的に減少し、最終的には０ [G] なっています。このことは、迎撃の最終段階で目標に直線的に接近して命中することを意味しています。
これに対して、ブースト・フェーズ交戦シミュレーションにおけるコマンド加速度は、最終的に大きな値を示しています。従って、目標に接近するに従って、迎撃ミサイルの速度の変化が大きくなり、ミスデスタンスを来たす要因となります。
この様子を迎撃時の弾道側視図を拡大して示します。迎撃ミサイルの弾道がカーブしています。
図4-60（図4-57の拡大)
次に、予想迎撃点をブース・トフェーズ終了後（発射後１２０[s]）に選定した場合の弾道側視図と誘導コマンド・ダイバートずを示します。
図4-61-1
図4-61-2
誘導コマンド加速度が最終的に ０ になり、その結果、迎撃ミサイルの弾道が命中の最終段階で直線になっています。
（以下第5章へ続く）