打上げ失敗の原因検討（その１）

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　北朝鮮は2012年 4 月１３日午前７時３９分ごろ、「人工衛星」の打ち上げと称して準備を進めていた長距離弾道ミサイルを発射した。北朝鮮の朝鮮中央通信は「衛星」打ち上げに失敗したと伝えた。

現在（13日 19:00）、TVニュースなどで報道された発射に関することは次のとおり。

①　発射直後、1～2 分後、高度、約 120 km (40,000 feet) で爆発し、10 個ほどに分解、

②　数分後、平沢～群山西方 100～150 km の黄海上に落下した。

＜参考：読売新聞(13日夕刊)誌上における専門家の推測＞

　(1)　永田晴紀 北大教授（ロケット工学）：「１段目の燃焼が予定の半分ぐらいまで進んだところエンジンが停止し、その後、爆発に至ったのではないか」。加速が停止したのは高度 50 km 程度と計算。そのまま慣性で 120 km の高度に達したとみられる。爆発の原因：1 段目の高温ガスによって、エンジンの燃焼室の壁が損傷して爆破した可能性がある。

　(2)　坂本規博 東京財団研究員（宇宙技術）：「1 段目か 2 段目のエンジンで燃焼の不具合が起きて爆破したのではないか。分離時に不具合が起きて自爆装置を作動させた可能性も否定できない」

　(3)　防衛省の見方もこうした分析（(2)の分析）と一致。同省幹部：「1 段めの切り離しの前後で、何らかの異常が発生した可能性がある」

＜各ロケット段の増速の想定＞

　各国のプレス団に展示された「衛星」打上げロケットから、第１段エンジンがノドン・エンジン×４個、第２段がノドン・エンジン×１個 及び第３段がスカッド・エンジンと推定されることを考慮して、各段の質量及び増速を次のように想定する。

　推進剤として、「事前検討」の表３に示した IRUNA-UDMH （Isp = 324(真空中)、第１段では、324×0.9）を使用する。また、各段の構造質量比を 0.15 とする。

　韓国国防省は同国イージス艦が追跡した「北朝鮮 弾道ミサイル」飛翔経路説明図を発表した。それに基づく北朝鮮の弾道ミサイルの発射から落下までの経緯は次のとおりである。

図１

読売新聞 朝刊　2012年4月14日

＜空中爆発高度 70 km、飛行時間 2 分15 秒における弾道ミサイルの速度の推定＞

　高度 70 km 以上の空間は、ほぼ真空で、弾道ミサイルの飛行経路は真空中の放物線弾道とみなせるから、空中爆発高度を Hb（70,000m）、最高点高度を Hm（151,000m）、空中爆発時の弾道ミサイルの速度をVb(m/s)、爆発点から最高点まで飛行時間を t (4分 - 2分15秒 = 105 秒)、この間の重力の平均加速度を g (= 9.47 m/s²)、また、経路角を γ とすると次式が成り立つ。

Vb・sin(γ)・t - gt² / 2 = Hm - Hb・・・・・・・・・・・・（1）

　（１）式から、Vb は次のように計算される。

Vb = {(Hm-Hb) + (gt² / 2)} / (sin(γ)・t ) ・・・・・・・・ （2）

ここで、経路角 γ を 60°、45°、30° と想定して、（２）式から、破裂した時の弾道ミサイルの速度（Vb）を求めると

Vb = 1,465  m/s　　（≒ 1,500 m/s） ; γ = 60°

      =  1,794  m/s      （≒ 1,800 m/s）；γ = 45°

      =  2,537  m/s      （≒ 2,500 m/s）；γ = 30°

＜第１段ロケットの検討＞

　最初に、北朝鮮が「銀河３号」と称する「光明星３号」人工衛星打ち上げロケとほぼ規模の似た日本の「N-Ⅰロケット」（開発製造：宇宙開発事業団(NASDA)・三菱重工、試用期間：1975-1982年）の性能の概要を以下に示す。（データ：「wikipedia」による）

　「N-Ⅰロケット」各段の増速量：

　上の表は次のことを示している。

　第一に、各段の質量比率は概略：

　　第１段（補助ブースタを含む）・・・・ 90 %

　　第２段・・・・・・・・・・・・・・・   8 %

　　第３段(ペイロードを含む)・・・・・・・ 2 %

　第二に、第１段で、ブースト間の重力及び空気抗力による損失（約 1,500[m/s] 程度）を見込んで、計算増速量 = 約 5,000 [m/s] を目指す。これによって、第１段間に、最低円軌道高度 = 200 [km] 以上に推し上げる。

　第三に、以上を満足させるために、第１段に、補助ブースタ（Strap On Booster; SOB,  Solid Strap-on Booster; SSB) が使うのが一般的である。

＜北朝鮮「銀河３号」ロケットの検討＞

　以上の準備のもとに、データ上好意的に北朝鮮の「銀河３号」ロケットを検討するとして、各段の質量配分等を次のように想定する。（構造質量比：0.1）

　表4 おいて、北朝鮮はペイロード（人工衛星）の質量を 100 [kg] と発表しいるが、弾道ミサイルと考えれば、1,000 [kg](1 [ton]) とみるのが妥当と考えて、ペイロード質量を 1,000 [kg] に設定している。

　表3「N-Ⅰロケット」と表4「銀河３号」は総質量において、ほぼ同一のロケットであるが、両者を比較すると次のようなような特徴がある。

　①　燃料質量及び総質量に占める燃料質量の比率が前者（83,070[kg], 91%）、後者が（81,000[kg], 89%）で、いずれも、前者が大きいのにもかかわらず、増速量が小さい（8,738[m/s]：10,651[m/s]）のは、主として、推進剤の Isp（比推力）の違いによるものである。

　　（注）「Isp」 は、推進剤の性能の良さを示す指標で、質量 1 [kg] の推進剤を、推力 1 [kN] を出すように燃焼させたときの燃焼時間（単位は秒[s]）である。

　②　各段の推進剤の燃焼時間の合計を比較すると、前者が  511 秒（ 8 分 31 秒 ）、後者が 360 秒（ 6 分）で、前者が 151 秒（ 2 分 31 秒）長い。この違いは、ミッションの違い（前者：人工衛星、後者：弾道ミサイル）による。

　③　人工衛星打ち上げ用ロケットでは、搭載衛星の許容加速度の制限があるから、ゆっくりと加速することになる。一方、弾道ミサイルでは、防者の対応を回避するため急速に加速する必要がある。

　(参考）「N-Ⅰロケット」の後継「N-Ⅱロケット」（衛星「さくら」1984年）：

　　　打ち上げ後の高度と速度

　　　　第１段燃焼後　高度　107 [km]    　　速度　4.8 [km/s]

　　　　第２段燃焼後　高度　169 [km]    　　速度　7.9 [km/s]　（パーキング軌道）(注)

　　　　第３段燃焼後　高度　400[km] ～　 　速度 10.3 [km/s]　（トランスファ軌道）

　　　　(注)　H-Ⅱロケット：パーキング軌道高度 200～４００[km]

＜ロケット「銀河３号」第１段の検討＞

　ロケット「銀河３号」が第１段燃焼中に、空中爆発して打ち上げに失敗したことから、ここでは第１段のみを取り上げて検討する。

　検討にあたっては、細部を省略して次のように簡単化する。

（１）大気圧による「推力損失」

　　ロケットエンジンの推力 T は、推進剤質量流量率を m_dot有効排気速度を c (= Isp ×ｇ) とすると次のように表される。

T = m_dot × c ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・  （3）

　また、ノズル排出面の面積を A₂ 、排出速度を v₂、ノズル出口の圧力を p₂、大気圧を p₃ とすると

　　　　　T =  m_dot × v₂ + ( p₂ - p₃ ) x A₂ ・・・・・・・・・（4）

と表されるから、

　　　　　c = Isp x g = v₂ + （p₂ - p₃）x A₂ / m_dot ・・・・・（5）

ここで、g は重力の加速度で、気圧が問題になる高度では、一定とみなさせるから、（５）式から、比推力（Isp）は、大気圧 p3 に依存し、p3 が最大になる海面高度で最小になり、高度が増すにつれて真空に近くなるなるので、一定値になる. このため、Isp は海面高度と真空中の値が示されている。（4）式の第2項の大気圧による損失は「推力損失」と呼ばれている。

　高度に対す気圧及び Isp （一例） の変化を次に示す。

図２　高度対気圧	図３　高度対 Isp

　図３に示す例では、真空中の Isp 値に対する海面高度における値は 86%(14%減) であるが、通常、10～２０％ 減である。

　「圧力損失」は高度 40 [km] 以上では無視できるが、第１段ロケットの推力計算に当たっては、一般的に海面高度値が用いられている。「銀河３号」については、真空中の Isp ( 324 [s] ) に対して海面高度値を 10% 減として 296.1 [s] ( 324 x 0.9 = 296.1 )を適用して検討するする。

（２）空気密度による「抗力損失」

　　高度に対する空気密度の変化を数に示す。

図４ 高度対空気密度

　上図に示したように、空気密度も気圧と同じように、高度の増大にとっもなって減少するが、飛行中のロケットに及ぼす影響は異なる。

　いま、飛行速度を v [m/s]、空気密度を ρ [kg/m³] とすると、動圧 q は

　　　　　q = (1/2) x ρ x v²  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（6）

であらわされ、この動圧によって機体の飛行方向に対して逆向きの次に示す抗力(drag) D が発生する。

　　　　　D = q x C_D x A = (1/2) x ρ x v²  x C_D x A　・・・・・・・・・・（7）

　　　　　　　C_D：抗力係数、　A：基準断面積 [m²]

　（7）式に示したように、機体に加わる抗力は空気密度 ρ と機体の速度 v の自乗の積であるから、ある程度、速度が大きくなり、かつ、ほどほどの空気密度がある高度で生ずる。

　図４に示す高度対空気密度のグラフは次式で近似できる。

　　　　　ρ = 1.225 exp(-0.1051・h) ;  h: 高度 [km] ＜ 10 [km] ・・・（8）

　　　　　ρ = 2.020 exp(-0.1558・h) ;  h: 高度 [km] ≥  10 [km]  ・・・（9）

　「銀河３号」ロケット第１段の検討にあたっては、空気密度として上の近似式を用い、抗力係数 C_D = 0.8 、基準断面積 A として、第１段ロケットの直径( 2.5 [m²] )から　A = 4.91 [m²] とした。

（３）重力による「重力損失」

　飛行中のロケットについて、水平面に対する飛行経路上下角（角度 θ、単に「経路角」ともいう）と推力方向（角度φ）が一致する（θ = φ）とし、揚力も発生しない（迎角 α = 0）として、飛行方向と飛行方向に垂直な面の運動方程式を簡単化すると次のように表される。ここで、m：機体質量、v：飛行速度、g：重力の加速度 である。

　　　　　dv/dt = T/m  - (1/2) C_D ρ v² A - g sin θ　・・・・・・・・・・（10）

　　　　　v dθ/dt = -g cos θ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（11）

　（10）式の右辺第１項は推力 T による加速度であり、第２項は前述の空気による抗力損失である。そして第３項が重力の加速度 g による「重力損失」である。

　「重力損失」項は、g に sin θ が乗じられているから、θ が 90°（垂直離陸）とき sin θ = 1 で最大の重力損失が生ずる。しかし、垂直離陸することによって、推力損失や抗力損失を伴う大気の層を速やかに通り抜けるとともに、迎角によて生ずる機体に加わる曲げモーメントを少なく抑えることができる。

　高度 70 [km] 以上になれば短期的に空気密度の影響を無視できるから、経路角 θ を減少させることによって重力損失を下げることができる。

 　高度 70 [km] における空気密度は、ジェット旅客機などが巡航飛行する高度約３万フィートの空気密度の 1/5,000 である。航空機の巡航速度は、約 250 [m/s]、一方、高度 70 [km] におけるロケットの速度は高々 2,500 [m/s]であり、旅客機の速度の 10 倍である。空気抗力は速度の自乗に比例するから 10 x 10 = 100 倍になるが、空気密度が 1/5,000 であるから、抗力としては 1/50 になる。

　重力の大きさは、高度に反比例して減少するが、地球の中心を座標原点として計算するから、地表面からの測った高度に対する変化率は小さい。高度 300 [km] 以下の場合、重力 g [m/s²] は次式で近似できる。

　　　　　g = 9.8 - 0.003 x H  ；H：高度 [km] ・・・・・・・・・・・・（12）

　（12）式を使うと、高度 100 [km] の g は、9.8 - 0.003 x 100 = 9.8 - 0.3 = 9.5 になる。

　重力損失に基づく速度損失と空気抗力の一例を次に示す。

図５　重力損失による損失速度及び抗力

　上図の重力損失速度（青色のグラフ、左軸目盛）は第１段ロケットエンジンが燃焼終了するまに重力によって失われた速度を示し、最終的に 1,400 [m/s] が失われたことを示している。表４で、損失がない場合の計算速度は約 4,800 [m/s] と計算されているから、約 30 % 近い速度が重力によって失われたことになる。

　グラフの抗力損失（赤色のグラフ、右軸目盛）は、空気密度によって受ける抗力を示している。空気抗力は空気密度とロケットの速度の自乗との相乗によって生じ、この例では高度 10 [km] 付近で最大（0.8 [m/s²]）になっている。

　グラフに示した抗力損失は、ロケットの飛行に対して減速度として働くから、これによる速度損失は、空気抗力を時間積分した値になる。積分値（速度損失）はこのグラフに示していないが、34 [m/s] であり、重力による速度損失に比べれば、わずかな値（重力損失の 2.4%）である。通常、全速度損失のうち、80% 以上が重力損失である。

（4）重力による経路の湾曲

　（11）式の両辺を飛行速度 v で割ると、飛行中の経路角（経路上下角） θ  の変化率（時間微分値）が得られる。

　　　　　dθ/dt = - g cos θ / v ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（13）

　微小時間 ⊿t 間に、経路角 θ が ⊿θ だけ変化するとすると、

　　　　　⊿θ = - [g cos θ / v] x ⊿t ・・・・・・・・・・・・・・・・（14）

であるので、迎角 α = 0 の場合、飛行経路は重力 g によって（14）式にしたがって下方に（地球の中心に向かって）湾曲していく。この経路を「重力ターン経路」（gravity turn trajectory）という。

　迎角 α = 0 は、迎角損失（= T(1-cosα）, T:推力）上、理想的であるがペイロード最大あるいは全速度損失最小の条件ではないので、予め最適飛翔経路を定めて、そのプログラムに従って飛行させることになる。その上で、実際に飛行させた場合、機体に加わる曲げモーメントが制限内に収まるように推力ベクトルを偏向制御する。

　推力一定条件で発射すると、発射当初、機体質量が大きいので飛行速度があがらないので、（14）式において、飛行速度 v が小さくなるから、経路角 θ の変化が過大になる。逆に、燃焼後期になると推進剤消費によって機体が軽くなるので、急激に飛行速度が上がり経路角の変化は少なくなる。

　初期の発射重量に耐えて、密度の高い空気層（高度 35 [km] 付近）を速やかに突破するため、第１段ロケットの推力を機体の質量に対応させて配分する。その有効な手段の一つが、補助ブースタである。

　次に、飛行間、機体に一定の加速度が加わるように推力を調整した場合の「重力ターン経路」の経路角（GT）と、プログラムした経路角（Pro）の一例を示す。

図６ 経路角

　上図に示すように、重力ターン経路では発射初期の経路角の変化が大きくなっている。

以下続く。

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