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韓国航空大学の張泳根（チャン・ヨングン）教授は、北朝鮮が予告した第１段ロケットエンジンの落下地点（朝鮮半島南西部黄海）を発射地点（東倉里射場）を原点として 440 [km] として、ロケットエンジンの燃焼時間を 118 [s] 、その 2 秒後に分離（ただし、失敗）、12 秒後（発射後 130 [s]）に第２段ロケットエンジン点火と想定して、空中爆発が起きた時点（発射後 135 [s]）は、第２段ロケットエンジン点火後 10 秒としている。そこで、最初に、燃焼時間を 118 [s] として検討する。
ロケットエンジンの燃焼終了時の理論上の増速度 V は、有効排気速度を Ve ( = Isp x g )、質量比を MR (Mass Ratio)とすると、次式
V = Ve x LN( 1/ MR ) , LN : 自然対数 ・・・・・・・・・・・・・（1）
で与えられる。（その２）で説明した「ノドン」の場合、実際の値を上式に当てはめて見ると次のようになる。
Ve = Isp x g =226 [s] x 9.8 [m/s2] = 2,215 [m/s]
推進装置質量 m = 空虚(ドライ)質量 md + 推進剤質量 mp = 1,440 + 12,910 = 14,350 [kg]
発射質量Mo = 16,250 , 燃焼終了後の機体質量 Mf = Mo - mp = 3,340 [kg]
MR = Mf / Mo = 3,340 / 16,250 = 0.2055
V = 2,216 x LN( 1/ 0.2055 ) = 2,216 x 1.5823 = 3,506 [m/s]
実際には、重力と空気抗力による速度損失のため、速度は、2,300 [m/] になり、射程が 620 [km] ほどになることは前に説明したとおりである。
「銀河３号」の第１段ロケットエンジンの落下位置（水平距離）を 440 [km] とすると、ノドンの射程に対して、約70 % の距離であり、所要速度は、概略、射程の平方根（√(0.7)= 0.84）に比例するので、3,000 [m/s] 前後の速度になる。
（１）式に、V = 3,000 、Ve = 2,900 [m/s] (=296[s]x9.8[m/s2]) を代入して、質量比 MR を求めると、
MR = 1 / exp（3,000/2,900） = 1/2.814 = 0.355
推進剤の質量 mp は、mp = Mo x （1-MR）= 91,000 x 0.645 = 58,695 ≒ 60,000 [kg]となる。
第１段ロケットエンジンの性能の悪さは、今回の失敗の原因として、諸氏がすでに指摘されているところであるが、代表的性能指標であるロケットエンジンの構造質量比 ε (= md/(md+mp))、すなわち、推進装置全体質量に占める構造体部（空虚質量）の比率を、0.10、0.15、及び 0.20 と大きくして（大きくなるほど、性能が悪い、いわゆる”重たいエンジン”になる）試算した結果、概略 0.20 以下になった。
以上の結果、次表に示す質量配分で計算を進めることにした。
| 表１ 「銀河３号」：質量配分 | ||||||
| 段 | 各段質量 [kg] |
推進剤 質量[kg] |
比推力 [s] |
増速度 [m/s] |
燃焼時 間 [s] |
備 考 |
| ペイロード | 500 *1 | - | - | - | - | |
| 第３段 | 1,150 | 920 | 291 | 2,327 | *2 ? | 固体エンジン |
| 第２段 | 14,350 | 12,915 | 329 | 5,311 | 122 | ノドンエンジン x 1 |
| 第１段 | 75,000 | 60,000 | 296 | 3,126 | 118 | ノドンエンジン x 4 |
| 合 計 | 91,000 | 73,835 | 10,764 | 240 + ? | ||
| *1
質量はミッションによって第３段と調整されよう。 *2 張泳根教授は、251 [s] (4' : 11") としている。 |
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＜第１段ロケとエンジンの予告落下位置を満足するブースト特性＞
表１に示した制約のもとに「銀河３号」をブーストすると、燃焼終了時点で機体の速度、高度及び経路角の３つのパラメータが得られる。これらのパラメータを楕円運動の方程式に代入して、ロケットエンジンの落下軌道の最大高、最大高における速度及び落下位置を求める。その結果を、以下のグラフに示す。なお、経路角(上下角)は垂直位置（９０度）から、燃焼時間に比例して下げていくものとする。各グラフの横軸に示した「最終経路角」は、例えば、「30 [deg]」の場合、初期位置９０度から始まって、燃焼終了時に「30 [deg]」にすることを示している。
| 図１ 「銀河３号」ブースト特性 |
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図１に示したように、燃焼終了時に機体が獲得した速度（青色グラフ）は、経路角が大きくなるにつれて下がる。これは、重力による損失が経路角 γ の正弦（sin γ）に比例すことによる。高度（赤色グラフ）は、sin γ に比例するので、経路角が大ききなると、増大する。一方、水平距離（黄緑色グラフ）は、cos γ に比例するので、減少する。燃焼終了高度（赤色）が示すように、経路角が 60 度以下の場合、その高度は、空中爆発が生じた高度より低い。
| 図２ 「銀河３号」：分離ロケットエンジン落下特性 |
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図２は、最終経路角 41 度付近の、燃焼終了時のブーストパラメータ（図１: 速度1,925 [m/s], 高度 62 [km], 距離 44 [km]）に対する、楕円運動の方程式の計算結果を示している。「予告落下位置」は、楕円運動の方程式が、空気気効力を無視しているので、少し多めにとっている。
| 図３ 「銀河３号」：分離ロケットエンジンの最大高度における速度 |
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図３は、燃焼完了後、分離されたロケットエンジンが、獲得した慣性速度で、上昇を続け最高点に達したときの速度を示している。
経路角（41～42 [deg]）で分離されたロケットエンジンの落下のシナリオを示せば次のようになる。（速度1,925[m/s], 高度62[km], 距離44[km]）で分離→（速度を減じ、高度を獲得）→最高点（最小速度1,422[m/s], 高度151[km]）→（高度を下げ、速度を増して再突入）→海上に落下（落下地表面距離 450 [km]）
最終経路角 41.5 [deg] における第１段ロケットエンジンの飛行性能（ブースト特性）のグラフを次に示す。
| 図４ 「銀河３号」第１段ロケットエンジン飛行性能（最終経路角=41.5 [deg]） |
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図４に示す、燃焼終了時の速度は、打ち上げ失敗直後に筆者が予測した値（経路角 45°の場合、速度約 1,800 m/s）に近い。（失敗の検討（その１）参照）
張泳根教授は、空中爆発時点（発射後135秒）で、第１段は完全に燃焼終了し分離しない状態で第２段で爆発が生じたとしている。
張泳教授の説明に従いば、爆発は第１段ロケットエンジンの落下経路上で生じたことになるので、次に、その経路を示す。
| 図５-1 「銀河３号」：第１段ロケット落下経路（その１） |
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図５-１に示すグラフは、発射後の経過時間に対する第1段ロケットのブースト間（118秒間）とその後の高度を示す。ブースト間は、青色のグラフに従って上昇し、燃焼後は、獲得した慣性速度によって赤色のグラフに従って、上昇を続け、最高点（258 [s],151[km]）に達し、以降、下降に転じる。
図５-１では、後半の部分が省略しているが、図に示した落下経路は、第１段ロケットエンジンが正常に作動して分離、落下した場合、予告位置に落下する経路の前半部分である。
図に示したように、落下物体は、当初、ほぼ、予想された第１段ロケットエンジンの落下経路に沿って上昇した推定される。予想経路の最高点は、257.7 [s], 151.2 [km] である。
次に、落下経路の後半部分を示す。
| 図５-2 「銀河３号」：第１段ロケット落下経路（その２） |
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図５-2 の説明に入る前に、図で使われている「弾道係数」（ballistic coefficent）に説明する。弾道係数は、物体が空気中を運動するとき、空気抵抗の影響の受けやすさの指標である。物体の運動方向に対する断面積 S が大きく、質量が小さいほど、影響されやすい。
弾道係数は、大雑把に言えば、物体の質量 m [kg] を物体の運動方向の断面積 S [m2] で割った値である。断面積としては通常、最大断面積をとりこの面積を「基準断面積」と呼ぶ。さらに、物体の形状や表面の状態によって空気抵抗が変わってくるので、この面積に「抗力係数 CD」（drag coefficient）を乗じた値（S・CD）で、物体の質量を割った値が「弾道係数」になる。
弾道係数の実際の値のイメージがわかないであろうから、一例を示す。半径 r = 1 [m] の、アルミニウム（Al, 比重 2.70）の球の弾道係数を求める。
質量 = 体積 x 比重 x 水の質量 [kg/m3] = π x r3 [m3] x 2.70 x 1,000 [kg/m3]= 8,482 [kg]
球の断面積 S = π x r2 = 3.14 [m2]
抗力係数 CD の値は、砲弾など、空気抵抗の抑制が図られた形状の場合、0.1 から 0.4 である。その他、特別の空気力学的な対策が取られていない場合は、通常、0.8 くらいの値が使われている。
ここでは、CD = 0.4 として計算すると、S・CD =3.14 x 0.4 =1,256 [m2] となり、半径 1 m の球のアルミニウムの弾道係数 β は、次のようになる。
β = 8,482 / 1.256 = 6,753 ≒ 7,000 [kg/m2]
図５-２の落下経路は、分離されたロケットエンジンが、高度 60 [km] で大気圏に再突入して、それ以降、弾道係数に応じて、異なった経路をたどって、着地する様子を示している。大気を無視した場合、経過時間 440 [s]（7' 20"）で着地（着水）する計算になる。
「銀河３号」の第１段ロケットエンジン（直径 2.5 [m], 長さ 16 [m]）の断面積 S は、4.91 [m2]、燃焼終了後の質量は、15,000 [kg] であるから、CD = 0.8 とすると、弾道係数 β = 3,820 [kg/m2] となる。ただし、この値が適用されるのは、ロケットエンジンの縦軸が落下運動の速度ベクトル方向と一致している場合である。
このロケットエンジンの、もう一つの断面は長軸に沿う断面で、その面積は 16 [m] x 2.5 [m] = 40 [m2] 、この値に、CD = 0.8 を乗じて 32 [m2] となる。この値に対する、弾道係数 β = 470 [kg/m2] である。ただし、この状態は、落下運動方向に対して長軸が直交するよな姿勢になる。
以上のように、弾道係数 β として、470 ～ 3,820 [kg/m2] まで考えられるが、ここでは、β = 1,000 [kg/m2] と想定している。グラフに示した青色部分が、そのときの落下曲線を表している。
「失敗の検討（その１）」で示した「韓国国防省亜発表による弾道ミサイルの発射から落下までの経緯」では、発射後 4分（240秒）後に下降に転じた物体が２個に分かれ、その一方が 8分47秒（527秒）後に「10 個余りの破片に分離」、他方が 9分7秒（547秒）後に「3 個の破片に分離」と記述されている。グラフに示したように、このように、落下時間が遅くなる落下経路は、弾道係数が 500 [kg/m2] 以下になる。
落下物体が２群の破片に分離した高度については記述がないが、弾道係数 500 [kg/m2] の場合、最大減速度が生じる高度が 22 [km] であるので、この付近で分離したと考えられる。
弾道係数が小さくなると、落下速度が減速され、結果として落下時間が長くなる。図５-2 に示した落下経路について、弾道係数に応ずる、落着時間及び落着速度を次に示す。なお、再突入時の経路パラメータは次のとおりである。距離(X)：438.5 [km], 高度(Y)：59.1 [km], 速度(V)：1940.6 [m/s], 経路角(γ)：42.048 [deg], 時間(t)：400.1 [s]
| 表２ 弾道係数のターミナルフェーズに及ぼす影響 | ||||||
| 真空中 | 大気圏中 | |||||
| 弾道係数 [kg/m2] | － | β = 3,000 | β = 2,000 | β = 1,000 | β = 500 | |
| 落着速度 [m/s] | 2,217 | 336 | 211 | 133 | 91 | |
| 落着時間 [s] | 発射後基準 | 439.8 | 455.3 | 466.9 | 497.5 | 543.0 |
| 真空中基準 | 0 | 15.5 | 27.1 | 57.7 | 103.2 | |
表２に示すように、真空中の落下運動に対する大気圏中の落下運動の著しい特徴は、落下速度である、真空中では、突入初期の速度（1940.6 [m/s]）は、その後、重力の加速度によて加速され、落着時に速度は最大（2,217 [m/s]）になる。一方、大気圏中の落下運動では、空気抗力によって減速され、落着時の速度は、例えば、弾道係数=1,000 [kg/m2] の場合、133 [m/s] になる。
分離されたロケットエンジンの弾道係数を1,000 [kg/m2] とした場合の、ターミナルフェーズにおける速度及び減速度をグラフで示す。ただし、減速度は重力の加速度 G（9.8 [m/s2]）を単位にとって示している。
| 図６ ターミナルフェーズにおける速度及び減速度 |
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図６ は、再突入後の 減速度（赤色グラフ）と速度（青色グラフ）を示している。減速度グラフが再突入後、高度 40 [kg] 付近に至る間、わずかに下がっていのは、地球の重力の加速度による。この加速度によって、速度グラフもわずかに上昇している（約 50 [m/s]）。
速度 V [m/s] で運動する物体に働く空気抗力（減速度）は、空気密度を ρ とすると、動圧 q =（1/2)・ρ・V2 に比例するから、高度が下がってきて 40 [km] を過ぎたあたりから、減速がかかり、高度 17 [km] の手前で、最大減速度点を迎え、速度が急速に減少する。速度が減少すると、動圧 q 、したがって減速度も急激に減少する。なお、弾道係数が小さくなると最大減速度点の高度は高くなる。
図６には、高度 40 [km] の手前から、速度曲線の接線を延長した青色破線が付加されているが、この破線は、大気を無視した真空中の落下運度を仮定した場合の速度グラフである。したがって、青い破線と実線に囲まれた面積に対応するエネルギーが減速に費やされたことになる。
次に、横軸に落下経路の Downrage （地球の中心を円弧とする地表面に投影した距離）をとり、縦軸に高度を取った「落下経路側視図」を示す。
| 図７ 第１段ロケットエンジン：落下経路側視図 |
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北朝鮮が予告した第１段ロケットエンジンの落下地区のデータから計算される、「東倉里」（トンシャンリ）からの近限界は 415 [km]、遠限界は、495 [km] である。図７ は Down Range の最大値を遠限界値にとっている。
図７は、弾道弾本体ではでなく、切り離されたロケットエンジン部の落下経路に過ぎないが、経路全体が、「ブーストフェーズ」、「慣性飛行コース」及び「ターミナルフェーズ」から構成されていることは、弾道弾本体と同じである。ただし、誘導弾では、「慣性飛行コース」は「ミドコース」（midcourse）と呼ばれる。
図5-1、図5-2 に示したように、落下経路の「Boost Phase」と「Terminal Phase」を、時間軸上で見ると、長くなっているが、それは、速度が遅いからである。これを図７のように、Down Range 上で見ると、速度 x 時間 = 距離 であるので、短くなっている。この図では、これら２つの Phase の距離の和は、50 [km] で全体の 10 % である。一方、時間上は、43.6 % を占めている。
発射直後、大方の識者は、失敗の原因について、第１段ロケットエンジンを問題にした。このことは、多くの方が、第１段ロケットエンジンの燃焼時間は、 「およそ150 秒、分離時の高度は少なくとも 100 [km] 以上 」というイメージを持っていたことを意味する。
そして、第１ロケットエンジンが、高度 50 km 付近で爆発を起こし、高度 70 km（時間 135 秒）に至って２つに分離したと推定した。
発射前に、私の想定していた第１段ロケットエンジンの燃焼時間 150 秒の高度・速度を次に示す。
| 表３ 発射前に想定していた第１段ロケットのブースト性能 | |||||
| ロケットエンジン質量 | 80,000 [kg] | 82,000 [kg] | |||
| 高度[km] | 速度[m/s] | 高度[km] | 速度[m/s] | ||
| 構造質量比 | 0.10 | 113 | 3,065 | 121 | 3,352 |
| 0.15 | 95 | 2,516 | 103 | 2,737 | |
表３に示すようなイメージを持っていたから、高度 50 km で爆発ということは、当然、第１段ロケットエンジンで生じた不具合という印象をもった。そして、その不具合が生じた原因として、先ず、第１段ロケットエンジンが４基のノドンロケットエンジンを束ねたエンジンであり、各エンジンの燃焼の不整合から、機体に異常振動が生じ燃料系統に破損が生じたものと推定した。
次に、高度 70 km で、２つに分離した時間 135 秒は、高度が低いということを除けば、第１段ロケットエンジンを分離して第２段に代わる時間帯と考えうる時間帯でもあるので、分離に失敗したとも考えられた。ただし、この場合、第１段ロケットエンジンの性能が悪いという条件が付く。
第３に、「指令破壊」（command destruct）あるいは「自爆」（self destruct）も考えらる。しかし、指令破壊や自爆は、その前に、それに至る原因がなくてはならないから失敗の直接の原因ではない。しかも、意図的に、あるいは、予め定めたプログラムに従って、安全上から行うのであるから、これらによる爆破は、一般的に粉砕に近い。この意味で、図５-2 に示した、527秒（8分47秒）に観測された、10 個以上に分離した落下物は指令破壊によるものとも考えられる。
以上の所見は、表３に示すような発射前の予見に基づく結果であるが、改めて、北朝鮮の第１段ロケットエンジンの落下予告位置から、そのブースト性能を計算してみると、第１段ロケットエンジンは正常に作動して、燃焼を完了していると思われる。（図5-1参照）
図１（韓国国防省発表による弾道ミサイル発射化落下までの経緯）を見直すと、「高度 70 km 2分15秒後 ２つに分離（空中爆発か）」と記述されている。この時間（発射後 135 秒）あたりは、第1段が切り離されて、第２段が点火されるクリティカルな時間帯である。したがって、「２つに分離」ということは、発射シーケンスに従って、分離されたとも考えれる。
この新聞記事の注釈「（空中爆発か）」は、この高度（70 km）で分離するはずはないという予見から、このような表現になったものと思われる。ただし、分離する場合、火薬によって接合部を分断するから、多少の火炎は観測されたかもしれない。
第１段ロケットエンジンが燃焼を終了し、第２段が点火されるまでは、第１段と第２段以上は、真空中で、同一の慣性速度で上昇する。したがって、第１段が分離されて第２段との接合が解かれても、このままでは、第１段は第２段に接した状態になっている。このため、一般的に、逆噴射ロケット（レトロモータ）を用いて、切り離したロケットが前方のロケットに追突しないように減速する。
第１段の分離が不完全であると、第２段の点火シーケンスに進めない。このため、第２段以上の部分と第１段がほぼ一体となって最高点まで上昇し、以後、下降に移って、再突入する段階で、弾道係数の大きさの違いによって、２つの経路に分かれて落下したものと考えられる。
推進剤が残っているため質量が大きく（16 ton）かつ直径が小さい（1.5m）ため、弾道係数が大きい（第１段に比べて約３倍ほど大きくなる）第2段以上の部分が早く落下したものと思われる。第２段以上の部分には、誘導制御部、計測通信部及び電力などアビオニクスシステムの主要部が搭載れている。第２段以上の部分が無傷のままで韓国の領海に没した場合、引き揚げられる恐れがある。指令破壊は、本来安全（safety）のためにあるが、ここでは、security 上から指令破壊をかけた可能性が高い。
指令破壊受信装置（CDR）は一般に、第２段以上の部分に搭載れているが、分離前であれば、デストラクト信号はコネクタを通して第１段にも伝えられるようになっている。
このたびの弾道ミサイルの発射試験で、メインとなる第１段ロケットエンジンの性能が極めて低いことが証明された。私が事前に想定した表３の枠からはるかに外れた性能であった。
この性能の低さは、第１段ロケットエンジン部の落下予告位置をもって、北朝鮮自らが認めた性能でもある。ただし、発射方向を東向きにとらず、南向きにとったことにより地球自転による初速（370 [m/s]）を利用できなかったことも、性能にマイナスに作用している。
北朝鮮の、弾道ミサイルの開発手法である既存のミサイルを束ねて大型化を図る、いわゆる ”束ね手法”（cluster engine）は，「両刃の剣」である。短期間に、コストをかけずに、前進できると評価する向きもあるが、射程の増大に伴って限界にきていると思われる。
ロケットエンジン分離技術は、依然として、解決していない。
日本の人工衛星打ち上げ用ロケットは、1970年に始まった「科学衛星打ち上げ用固体ロケット」から、実用衛星打ち上げ用液体ロケットを経て、標準型ロケット（H-ⅡA）が固まったのは、2001年である。この３０年間、官民一体になって、基礎から幾多の苦難を乗り越えて、世界に肩を並べられるようになたのである。
新聞やＴＶで、軍事アナリストの方々は、北朝鮮が人工衛星の打ち上げ試験を行うと発表すると、決まって「人工衛星と弾道ミサイルは同一技術基盤上にある」という。しかし、弾道ミサイルに比較して人工衛星の方がはるかに裾野の広い産業に支えられている。さらに、打ち上げのための組織や支援支援施設は、地球規模で展開される。
人工衛星を打ち上げる能力があれば、核弾頭などを除いて、弾道ミサイルを製造する技術能力はあろう。ただし、現在、開発に伴う発射試験を行える国際環境にない。
一方、弾道ミサるを開発する技術がっても、それが、即、人工衛星打ち上げ能力に結びつかない。人工衛星は、多くの産業の下支えによって成り立っている。北朝鮮は、一部の軍事産業を除いて、民間の鉱工業産業は疲弊していると思われる。
北朝鮮は、今回、打ち上げに先立って、「人工衛星」に搭載する装置（らしいもの）を記者団に披露した。今後も、多分、「人工衛星」と称して、打ち上げ試験を繰り返すだろうが、「人工衛星」など、とても覚束ない。
以下続く。
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