弾道学は、最小のエネルギーをもって、最大の射程を達成することを目指して発展してきた。特に、弾丸が、砲口から出た後の運動を対象とする「砲外弾道」（Exterior Ballistics）においは、最初に、真空中という理想的な状態において、弾道方程式を立て、これを基本として、空気中の弾道方程式を導出している。
空気（大気）の弾丸の運動に及ぼす影響は複雑かつ大きいので、真空中の弾道計算の結果は実際上役立つことは少ないが、空気中の弾道と比較することによって、空気の影響についての深い理解が得られる。
真空中を運動する弾丸について、与えられたエネルギー（初速を V, 弾丸の質量を M とすると、MV2/2）を一定にして、得られる最大射程 Rm=V2sin(2γ)/g （γ：射角、g：重力の加速度） は、γ = 45°のとき sin(2γ) = sin( 90°) = 1であるから最大となって、Rm=V2/g となる。
ここで、初速 V = 1,000 [m/s] とすると、Rm= 102 [km] が得られる。いま、射角を 60°及び 30°に増減すると、sin( 2×60°)=sin(120°)=sin(180°- 60°)=sin( 60°)=sin( 2×30°)=0.8660 であるから、ともに、射程は、88 [km] に減少してしまう。
射角を45° から±15° 増減した場合でも同一の最大射程(102 [km]) を維持するためには、それぞれの初速を 1,075 [m/s] に増大する必要がある。エネルギーは、速度の二乗に比例すので、1,0752/1,0002 ≒1.16 であるから、最小エネルギーから１６％ほどのエネルギーの増加が必要となる。
以上の結果を、最大弾道高と飛翔時間を追加して下表に示す。
| 表1.1 真空中の弾道特性（砲弾） | |||||
| 射角[deg] | 初速[m/s] | 射程[km] | 最大弾道高[km] | 飛翔時間[s] | 備 考 |
| 60 | 1,075 | 102 | 44.2 (1.73) | 190 (1.32) | |
| 45 | 1,000 | 102 | 25.5 (1.00) | 144 (1.00) | 基準値 |
| 30 | 1,075 | 102 | 14.7 (0.58) | 110 (0.76) | |
| 45 | 1,000 | 31 (0.30) | 11.5 (0.45) | 96 (0.67) | 空気中 |
| （ ） 内の数値は、基準値に対する比 | |||||
表1.1 に示したように、真空中では、最大、１００[km] ほど飛ぶ砲弾も、空気中では、わずか 30 [km]に減少してしまう。よって真空中の弾道は、実際の場面では利用され場合が少ないのであるが、射角４５°で最大射程という基準は生きている。
砲弾の場合、放物線運動をする弾道を仮定して最少エネルギーを与える射角、４５°が決まったが、楕円運動をする弾道ミサイル弾道の場合、射角に相当する角（楕円上では「経路角」（Flight Path Angle））が一意に決まるのであろうか。
下図に、地心を楕焦点として楕円運動をする弾道ミサイルの弾道（軌道）を示す。
| 図1.1 弾道ミサイルの弾道概観 |
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図1.1 において、弾道ミサイルの軌道は地球を一周することなく、点Ｐから発射されて点Ｐ’に落達するから地表面以下の軌道の部分は実際には存在しない。この軌道は「亜軌道」（Sub-orbital Trajectory）と呼ばれている。
弾道ミサイルの軌道は,、地表面に沿って測った点Ｐ～Ｐ’間の距離（射程：「Downrange」と呼ぶ）と発射点における経路角（γ0）よって決定される。
射程（Downrange）に対応する中心角 Φ（弧ＰＰ’が地心 O に張る角） を「射程角」と呼ぶことにすると、地球の半径を a として、Φ は
射程角 Φ = downrange / a [rad] = ( downrange / a ) × 180 / π [deg] （1.1)
で表される。downrange が 10,000 [km]、即ち地球の１／４ 周に等しいとき、射程角 Φ は,９０°に、また、１／２ 周（20,000 [km]） に等しとき、１８０°になる。したがって、弾道ミサイルの最大射程は、20,000 [km] を超えることはない。
真空中の砲弾の弾道では、同一の射程を満足する初速と射角の組み合わせが無数にあって、そのうち、射角が４５°のとき、初速が最小になることを示した。（表1.1 参照）
弾道ミサイルの場合、射程を一定として、いかなる経路角が最小の初速で済むことになるであろうか。即ち、最小のエネルギーで所定の射程を満足する経路角が見い出せれば、その弾道を基準弾道として他の弾道を評価できよう。
下図に、Downrange （図では DR と略記）を パラメータ（1,000、2,000 、・・・、12,000 [km]）にとり、経路角 γ（０°、１°、～ 90°）に対する所要初速V0を示す。なお、Downrange パラメータを 1,000 ～ 6,000 [km] 及び 7,000 ～ 12,000 [km] の２グループに分けて示す。
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図1.2A 経路角に対する所要初速（その１） DM = 1,000 - 6,000 [km] |
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図1.2B 経路角に対する所要初速（その２） DM = 7,000 - 12,000 [km] |
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各曲線が極小の所要初速をとる点を ● で示しているが、このときの経路角が最小エネルギー（minimum energy）を与える経路角 γme で、経路角Φが大きくなるにつれてその値が小さくなっていることがわかる。
経路角 γme の値は、経路角 Φ [rad] を使って、次式で与えられることがわかっている。
γme = ( π /4 ) - ( Φ /4 ) [rad] = 45 °- Φ×(180°/ π ) [deg] (1.2)
(1.1)式と(1.2)式を使って、dpwnrange に対する射程角 Φ と経路角 γme を下図に示す
| 図1.3 Downrange に対する射程角(Φ)・経路角(γme) |
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図1.2 及び図1.3 の結果を要約すると：
① 最少エネルギーをとる経路角 γme は、射程角 Φ に応じて、４５°から ０°の範囲で変化する。
② 射程角 Φ が ０°のとき、経路角 γme は最大値４５°になり、砲弾に最大射程を与える射角４５°に一致する。
③ 射程角 Φ が 18０°のとき、経路角 γme は最小値 0°になり、弾道は地球表面を周回する円軌道に等しくなる。
最少エネルギーを与える経路角が決まったので、以下に、最少エネルギーの弾道について、射程に対する飛翔時間、初速、最高点速度及び最大弾道高を示す。
| 図1.4 射程に対する飛翔時間 |
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上図に、Downrange(1,000 - 12,000 [km])に対する飛翔時間（Flight time）、近似式の値及びその誤差を示す。
飛翔時間 Tf の計算式は、複雑なためプログラム化されている。このため、次式に示す近似計算式が使われる。式中、DR は、Downrange [km] である。
Tf ≒ 255 + 0.223*DR - 5.44*10-6*DR2
グラフでは、真値に対する近似値の差を誤差として示している。誤差は、Downrange が4,500 [km] 以上の場合、±10 [s] 以内である。
グラフの枠外であるが、Downrange 15,000[km]、20,000[k.m]に対する飛翔時間はそれぞれ、2,381[s](39' : 41")、2,534[s](42' : 14")である。
Downrange = 20,000[km]は、地球を半周する距離であるから、もし、１周すると仮定すると、飛翔時間は、84' : 28" = 1h 24' : 28" となる。この値は、高度０[km] の人工衛星の周期である。
| 図1.5 射程に対する初速・最高点速度・最大弾道高 |
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図1.5 において、初速（赤色実線グラフ）は、図1.2A・B において極小点に対応する所要速度であるから、Downrange が増大するにつれて、増加率が低下して第１宇宙速度に漸近していく。
最高点速度（赤色点線グラフ）は、図1.1「弾道ミサイルの弾道概観」で、点A(遠地点)における速度であるから、楕円軌道上において速度が最少になる。あるいは、高度という位置のエネルギーが増大した分、速度という運動エネルギーが減少したものとも考えられる。
Downrange = 20,000 [km] になると、楕円軌道は地球を周回する円軌道なって、初速 = 最高点速度 = 第１宇宙速度になる。
最大弾道高（青色実線グラフ）は、Downrange = 10,000 [km] （射程角Φ=90°）付近までは、増加していくが、この点を過ぎると楕円軌道が徐々に円軌道に近づき、楕円軌道の裾のが広がり頂点が下がっていく。その極限で完全に地球表面を周回する円軌道になり、最大弾道高は 0 になる。なお、このグラフの立ち上がり部分は、真空中の砲弾の最大弾道高（= Downrange の 1/4）にほぼ等しい。
（以下続く）