「集団的自衛権」限定容認下における弾道ミサイル防衛

抑止力向上に寄与するために

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第1章 弾道ミサイルをよりよく理解するために

1.1 最少エネルギー弾道(Minimum Energy Trajectory)

 弾道学は、最小のエネルギーをもって、最大の射程を達成することを目指して発展してきた。特に、弾丸が、砲口から出た後の運動を対象とする「砲外弾道」(Exterior Ballistics)においは、最初に、真空中という理想的な状態において、弾道方程式を立て、これを基本として、空気中の弾道方程式を導出している。

 空気(大気)の弾丸の運動に及ぼす影響は複雑かつ大きいので、真空中の弾道計算の結果は実際上役立つことは少ないが、空気中の弾道と比較することによって、空気の影響についての深い理解が得られる。

 真空中を運動する弾丸について、与えられたエネルギー(初速を V, 弾丸の質量を M とすると、MV2/2)を一定にして、得られる最大射程 Rm=V2sin(2γ)/g (γ:射角、g:重力の加速度) は、γ = 45°のとき sin(2γ) = sin( 90°) = 1であるから最大となって、Rm=V2/g となる。

 ここで、初速 V = 1,000 [m/s] とすると、Rm= 102 [km] が得られる。いま、射角60°及び 30°に増減すると、sin( 2×60°)=sin(120°)=sin(180°- 60°)=sin( 60°)=sin( 2×30°)=0.8660 であるから、ともに、射程は、88 [km] に減少してしまう。

 射角を45° から±15° 増減した場合でも同一の最大射程(102 [km]) を維持するためには、それぞれの初速1,075 [m/s] に増大する必要がある。エネルギーは、速度の二乗に比例すので、1,0752/1,0002 ≒1.16 であるから、最小エネルギーから16%ほどのエネルギーの増加が必要となる。

 以上の結果を、最大弾道高と飛翔時間を追加して下表に示す。

表1.1  真空中の弾道特性(砲弾)
射角[deg] 初速[m/s] 射程[km] 最大弾道高[km] 飛翔時間[s] 備 考
60 1,075 102 44.2 (1.73) 190 (1.32)  
45 1,000 102 25.5 (1.00) 144 (1.00) 基準値
30 1,075 102 14.7 (0.58) 110 (0.76)  
45 1,000 31 (0.30) 11.5 (0.45)   96 (0.67) 空気中
( ) 内の数値は、基準値に対する比

 表1.1 に示したように、真空中では、最大、100[km] ほど飛ぶ砲弾も、空気中では、わずか 30 [km]に減少してしまう。よって真空中の弾道は、実際の場面では利用され場合が少ないのであるが、射角45°で最大射程という基準は生きている。

 砲弾の場合、放物線運動をする弾道を仮定して最少エネルギーを与える射角45°が決まったが、楕円運動をする弾道ミサイル弾道の場合、射角に相当する角(楕円上では「経路角」(Flight Path Angle))が一意に決まるのであろうか。

 下図に、地心を楕焦点として楕円運動をする弾道ミサイルの弾道(軌道)を示す。

図1.1 弾道ミサイルの弾道概観
sub-orbital_trajectory

 図1.1 において、弾道ミサイルの軌道は地球を一周することなく、点Pから発射されて点P’に落達するから地表面以下の軌道の部分は実際には存在しない。この軌道は「亜軌道」(Sub-orbital Trajectory)と呼ばれている。

 弾道ミサイルの軌道は,、地表面に沿って測った点P~P’間の距離(射程:Downrange」と呼ぶ)と発射点における経路角(γ0)よって決定される

 射程(Downrange)に対応する中心角 Φ(弧PP’が地心 O に張る角) を「射程角」と呼ぶことにすると、地球の半径を a として、Φ は

    射程角 Φ = downrange / a   [rad] = ( downrange / a ) × 180 / π [deg] (1.1)

で表される。downrange10,000 [km]、即ち地球の1/4 周に等しいとき、射程角 Φ は,90°に、また、1/2 周20,000 [km]) に等しとき、180°になる。したがって、弾道ミサイルの最大射程は、20,000 [km] を超えることはない。

 真空中の砲弾の弾道では、同一の射程を満足する初速射角組み合わせが無数にあって、そのうち、射角が45°のとき、初速が最小になることを示した。(表1.1 参照)

 弾道ミサイルの場合射程を一定として、いかなる経路角最小初速で済むことになるであろうか。即ち、最小のエネルギーで所定の射程を満足する経路角が見い出せれば、その弾道を基準弾道として他の弾道を評価できよう。

 下図に、Downrange (図では DR と略記)を パラメータ(1,000、2,000 、・・・、12,000 [km])にとり、経路角 γ(0°、1°、~ 90°)に対する所要初速V0を示す。なお、Downrange パラメータを 1,000 ~ 6,000 [km] 及び 7,000 ~ 12,000 [km] の2グループに分けて示す。

図1.2A 経路角に対する所要初速(その1)
DM = 1,000 - 6,000 [km]
flight-path-angle_velocity_01

 

図1.2B 経路角に対する所要初速(その2)
DM = 7,000 - 12,000 [km]
flight-path-angle_velocity_02

 各曲線が極小の所要初速をとる点を で示しているが、このときの経路角が最小エネルギー(minimum energy)を与える経路角 γme で、経路角Φが大きくなるにつれてその値が小さくなっていることがわかる。

 経路角 γme の値は、経路角 Φ [rad] を使って、次式で与えられることがわかっている。

     γme = ( π /4 ) - ( Φ /4 ) [rad] = 45 °- Φ×(180°/ π ) [deg]                 (1.2)

 (1.1)式と(1.2)式を使って、dpwnrange に対する射程角 Φ経路角 γme を下図に示す

図1.3 Downrange に対する射程角(Φ)・経路角(γme)
range-angle_flight-path-angle

 図1.2 及び図1.3 の結果を要約すると:

 最少エネルギーをとる経路角 γme は、射程角 Φ に応じて、45°から 0°の範囲で変化する。

 射程角 Φ が 0°のとき、経路角 γme 最大値45°になり、砲弾に最大射程を与える射角45°に一致する。

 射程角 Φ が 180°のとき、経路角 γme は最小値 0°になり、弾道は地球表面を周回する円軌道に等しくなる。

 

 最少エネルギーを与える経路角が決まったので、以下に、最少エネルギーの弾道について、射程に対する飛翔時間、初速、最高点速度及び最大弾道高を示す。

図1.4 射程に対する飛翔時間
flight_time

 上図に、Downrange(1,000 - 12,000 [km])に対する飛翔時間(Flight time)、近似式の値及びその誤差を示す。

 飛翔時間 Tf の計算式は、複雑なためプログラム化されている。このため、次式に示す近似計算式が使われる。式中、DR は、Downrange [km] である。

     Tf  ≒ 255 + 0.223*DR - 5.44*10-6*DR2     

 グラフでは、真値に対する近似値の差を誤差として示している。誤差は、Downrange4,500 [km] 以上の場合、±10 [s] 以内である。

 グラフの枠外であるが、Downrange 15,000[km]、20,000[k.m]に対する飛翔時間はそれぞれ、2,381[s](39' : 41")、2,534[s](42' : 14")である。

 Downrange = 20,000[km]は、地球を半周する距離であるから、もし、1周すると仮定すると、飛翔時間は、84' : 28" = 1h 24' : 28" となる。この値は、高度0[km]人工衛星の周期である。

 

図1.5 射程に対する初速・最高点速度・最大弾道高
initial-velocity_max-alt

 図1.5 において、初速赤色実線グラフ)は、図1.2A・B において極小点に対応する所要速度であるから、Downrange が増大するにつれて、増加率が低下して第1宇宙速度に漸近していく。

 最高点速度(赤色点線グラフは、図1.1「弾道ミサイルの弾道概観」で、点A(遠地点)における速度であるから、楕円軌道上において速度が最少になる。あるいは、高度という位置のエネルギーが増大した分、速度という運動エネルギーが減少したものとも考えられる。

 Downrange = 20,000 [km] になると、楕円軌道は地球を周回する円軌道なって、初速 = 最高点速度 = 第1宇宙速度になる。

 最大弾道高(青色実線グラフは、Downrange  = 10,000 [km]射程角Φ=90°)付近までは、増加していくが、この点を過ぎると楕円軌道が徐々に円軌道に近づき、楕円軌道の裾のが広がり頂点が下がっていく。その極限で完全に地球表面を周回する円軌道になり、最大弾道高は 0 になる。なお、このグラフの立ち上がり部分は、真空中の砲弾の最大弾道高(= Downrange の 1/4にほぼ等しい

 

(以下続く)

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